[논문 리뷰] Doubly Nonnegative Tensors, Completely Positive Tensors and Applications

Ziyan Luo, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 29.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 52인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비음수 성분과 H-고유값을 통해 이중 비음수 텐서를 도입하여, 임의의 차수의 고차 텐서로 행렬 개념을 확장한다. 모든 차수의 양의 코시 텐서가 완전히 양의 정의적임을 증명하고, 지배성 성질과 수정된 Fan-Zhou 알고리즘을 활용한 전처리 기법을 제안하여 완전 양의 정의성의 검증 속도를 높이며, 텐서 보완 문제에 적용한다.

ABSTRACT

The concept of double nonnegativity of matrices is generalized to doubly nonnegative tensors by means of the nonnegativity of all entries and $H$-eigenvalues. This generalization is defined for tensors of any order (even or odd), while it reduces to the class of nonnegative positive semidefinite tensors in the even order case. We show that many nonnegative structured tensors, which are positive semidefinite in the even order case, are indeed doubly nonnegative as well in the odd order case. As an important subclass of doubly nonnegative tensors, the completely positive tensors are further studied. By using dominance properties for completely positive tensors, we can easily exclude some doubly nonnegative tensors, such as the signless Laplacian tensor of a nonempty $m$-uniform hypergraph with $m\geq 3$, from the class of completely positive tensors. Properties of the doubly nonnegative tensor cone and the completely positive tensor cone are established. Their relation and difference are discussed. These show us a different phenomenon comparing to the matrix case. By employing the proposed properties, more subclasses of these two types of tensors are identified. Particularly, all positive Cauchy tensors with any order are shown to be completely positive. This gives an easily constructible subclass of completely positive tensors, which is significant for the study of completely positive tensor decomposition. A preprocessed Fan-Zhou algorithm is proposed which can efficiently verify the complete positivity of nonnegative symmetric tensors. We also give the solution analysis of tensor complementarity problems with the strongly doubly nonnegative tensor structure.

연구 동기 및 목표

• 이중 비음수 행렬의 개념을 고차 텐서, 특히 양의 준정의성의 정의가 없는 홀수차의 경우까지 확장한다.
• 완전 양의 정의적 텐서의 부분군을 식별하고 특성화하며, 특히 쉽게 검증 가능한 텐서를 중심으로 한다.
• 완전 양의 정의적 텐서가 아닌 텐서를 효과적으로 제외하는 전처리 기법을 개발하여 Fan-Zhou 알고리즘 적용 이전에 효율적으로 걸러내기 위함이다.
• 강력 이중 비음수 텐서 제약 조건 하에서 텐서 보완 문제의 해 구조를 분석한다.
• 특히 홀수차 텐서에 대해 보완하는 텐서 분석 및 최적화의 이론적이고 계산 기반의 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 비음수 성분과 비음수 H-고유값을 갖는 대칭 텐서를 이중 비음수 텐서로 정의하고, 양의 H-고유값을 갖는 텐서를 강력 이중 비음수 텐서로 정의한다.
• 지배성 성질을 사용하여 지배성 성질에 의해 제외되는 특정한 구조를 가진 텐서들 — 예를 들어 m ≥ 3 인 m-균일 초그래프의 부호 없는 라플라시안 텐서 — 이 완전 양의 정의적일 수 없음을 제거한다.
• 지배성 검사와 요소 조정을 활용하여 완전 양의 정의성 검증 속도를 높이는 전처리된 Fan-Zhou 알고리즘을 제안한다.
• 비음수 계수를 갖는 기저 텐서의 무작위 선형 조합을 통해 대칭 비음수 텐서를 구성하여 전처리 효율성을 테스트한다.
• 모든 차수(짝수 또는 홀수)의 양의 코시 텐서가 완전 양의 정의적임을 증명하고, 새로운 충분 조건을 제시한다.
• 강력 이중 비음수 텐서가 텐서 보완 문제의 비어 있지 않고 컴act한 해 집합을 보장함을 보여, 이론적 성질을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 준정의성이 정의되지 않는 홀수차 텐서에 대해 이중 비음수성의 개념을 의미 있게 확장할 수 있는가?
• RQ2 짝수차일 경우 양의 준정의성이 보장되는 알려진 구조적 텐서들이 홀수차일 경우에도 여전히 이중 비음수성임을 확인할 수 있는가?
• RQ3 지배성 기반 성질이 비완전 양의 정의적 텐서를 완전 양의 정의적 텐서 집합에서 효율적으로 제외할 수 있는가?
• RQ4 홀수차 예제를 포함하는 넓고 쉽게 검증 가능한 완전 양의 정의적 텐서의 클래스가 존재하는가?
• RQ5 텐서가 강력 이중 비음수일 경우 텐서 보완 문제의 해 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 모든 차수(짝수 또는 홀수)의 양의 코시 텐서는 완전 양의 정의적임을 보이며, 쉽게 구성 가능한 완전 양의 정의적 텐서의 새로운 부분군을 제공한다.
• m ≥ 3 인 비어 있지 않은 m-균일 초그래프의 부호 없는 라플라시안 텐서는 이중 비음수이지만, 완전 양의 정의적이지 않다.
• 지배성 성질과 요소 조정을 기반으로 한 전처리 기법은 완전 검증 이전에 무작위로 생성된 대칭 비음수 텐서의 약 99.5%를 제외할 수 있다.
• m ≥ 5 이고 n ≥ 3 인 경우 전처리 효율성이 크게 떨어지며, m=12, n=4 일 때는 배제율이 최소 22.4%로 낮아져 고차원 복잡도가 증가함을 시사한다.
• 제안된 전처리된 Fan-Zhou 알고리즘은 비완전 양의 정의적 텐서를 조기에 걸러내어 완전 양의 정의성 검증 속도를 크게 향상시킨다.
• 강력 이중 비음수 텐서는 텐서 보완 문제가 비어 있지 않고 컴act한 해 집합을 보장하므로 이론적 성질이 양호하다.