[논문 리뷰] Dynamic Return and Star-Shaped Risk Measures via BSDEs

Roger J. A. Laeven, Emanuela Rosazza Gianin외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 07.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 파스-하우스도르프 캄보를 통해 볼록 드라이버를 도입함으로써 후행 확률미분방정식(BSDEs)과 동적 수익 및 별형태 위험 측도 사이의 새로운 연결 고리를 설정하여, 해의 존재성과 유일성을 보장한다. 주요 기여는 별형태 초과해가 비어 있지 않은 경우 최소 볼록 초과해가 존재하고, 이는 별형태 위험 측도의 본질적 최소값을 나타내며, 자본 배분 및 포트폴리오 선택에의 적용 가능성을 보장한다는 것이다.

ABSTRACT

This paper establishes characterization results for dynamic return and star-shaped risk measures induced via backward stochastic differential equations (BSDEs). We first characterize a general family of static star-shaped functionals in a locally convex Fréchet lattice. Next, employing the Pasch-Hausdorff envelope, we build a suitable family of convex drivers of BSDEs inducing a corresponding family of dynamic convex risk measures of which the dynamic return and star-shaped risk measures emerge as the essential minimum. Furthermore, we prove that if the set of star-shaped supersolutions of a BSDE is not empty, then there exists, for each terminal condition, at least one convex BSDE with a non-empty set of supersolutions, yielding the minimal star-shaped supersolution. We illustrate our theoretical results in a few examples and demonstrate their usefulness in two applications, to capital allocation and portfolio choice.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 볼록인 프리셰트 격자에서 일반적인 정적 별형태 함수족을 특성화함으로써, 볼록 분석을 초월하는 확장.
• 별형태 위험 측도에서의 이동 불변성(현금 추가성) 부재 문제를 다루어, 볼록 위험 측도 이론에서 일반적으로 사용되는 기법을 적용할 수 없음을 해결.
• 비볼록 및 비단조화 설정에서의 도전 과제를 극복하기 위해, BSDEs를 활용한 별형태 위험 측도의 동적 표현 개발.
• 별형태 초과해 집합이 비어 있지 않은 경우, 최소 볼록 초과해가 존재하고, 이는 최소 별형태 초과해와 일치함을 증명.
• 모델 및 선호도에 대한 강건성 조건 하에서 자본 배분 및 최적 포트폴리오 선택과 같은 실용적 문제에 프레임워크 적용.

제안 방법

• BSDE의 드라이버를 정규화하기 위해 파스-하우스도르프 캄보를 활용하여 리프시츠 연속성을 확보하고, 유일한 해의 존재를 보장.
• 동적 볼록 위험 측도를 생성하는 볼록 드라이버의 가족을 구성하고, 이들의 본질적 최소값이 별형태 위험 측도를 복원함.
• 프리셰트 격자 프레임워크를 활용하여, 단조성 또는 현금 추가성 조건 없이 정적 별형태 함수를 분석.
• 문헌 [5]의 볼록 위험 측도에 대한 표현 결과를 이중성 및 캄보 기법을 통해 별형태 함수로 확장.
• BSDE의 흐름 성질을 활용하여, 특히 포트폴리오 선택 문제에서 시간 일관성을 확보한 결과 위험 측도를 도출.
• 기대효용 함수와 확률 측도에 대한 최소-최대 최적화 문제로 포트폴리오 선택 문제를 재구성하고, 지수, 로그, 거듭제곱 효용 함수에 대해 BSDE 기법을 적용하여 해를 구함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단조성 또는 현금 추가성을 가정하지 않은 정적 설정에서 별형태 위험 측도는 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 그들의 최소 초과해가 주어진 BSDE의 최소 별형태 초과해를 생성하도록, 볼록 드라이버의 가족을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 원래의 별형태 초과해 집합이 비어 있지 않은 경우, 초과해 집합이 비어 있지 않은 볼록 BSDE의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 시간 일관성과 강건성을 유지하면서, 동적 수익 및 별형태 위험 측도를 BSDE를 통해 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ5 파스-하우스도르프 캄보는 BSDE 드라이버를 정규화하여 원하는 위험 측도 성질을 유지하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 국소적으로 볼록인 프리셰트 격자에서 단조성 또는 현금 추가성을 요구하지 않고도 일반적인 정적 별형태 함수족이 특성화됨.
• 파스-하우스도르프 캄보를 통해 볼록 드라이버를 구성함으로써 본질적 최소값 성질을 유지하고, 리프시츠 조건 하에서 해의 존재성과 유일성을 보장함.
• 별형태 초과해 집합이 비어 있지 않은 경우, 최소 볼록 초과해가 존재하고, 이는 최소 별형태 초과해와 일치함.
• BSDE의 흐름 성질 덕분에 결과로 도출된 동적 위험 측도는 시간 일관성을 확보하여 순차적 의사결정에의 적용 가능함.
• 이 프레임워크는 자본 배분 및 포트폴리오 선택에 적용 가능하며, 특히 다수의 효용 함수나 확률 측도를 고려한 강건한 설정에서 유용함.
• 지수, 로그, 거듭제곱 효용 함수의 경우, 포트폴리오 선택 문제는 볼록 BSDE의 가족으로 축소되며, 전체 해는 이 가족에 대해 최소화함으로써 도출됨.