[논문 리뷰] Efficient learning of ground & thermal states within phases of matter

Emilio Onorati, Cambyse Rouzé외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 30.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 79인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상관관계의 지수적 감쇠와 근사 마르코프 성질을 활용하여 양자 물질의 고체 및 열적 상태를 효율적으로 학습하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 이는 시스템 크기의 다항로그 스케일링 및 관측 가능성이 국소적인 데에 다항식 스케일링을 보이며, 이는 이전 방법에 비해 지수적 향상이다. 이는 유한 표본 보장을 갖는 바탕에서 광범위한 성질과 국소 관측 가능성을 정확하게 추정할 수 있도록 하며, 갭이 있는 및 열적 상태에서 견고하게 작동한다.

ABSTRACT

We consider two related tasks: (a) estimating a parameterisation of a given Gibbs state and expectation values of Lipschitz observables on this state; and (b) learning the expectation values of local observables within a thermal or quantum phase of matter. In both cases, we wish to minimise the number of samples we use to learn these properties to a given precision. For the first task, we develop new techniques to learn parameterisations of classes of systems, including quantum Gibbs states of non-commuting Hamiltonians with exponential decay of correlations and the approximate Markov property. We show it is possible to infer the expectation values of all extensive properties of the state from a number of copies that not only scales polylogarithmically with the system size, but polynomially in the observable's locality -- an exponential improvement. This set of properties includes expected values of quasi-local observables and entropies. For the second task, we develop efficient algorithms for learning observables in a phase of matter of a quantum system. By exploiting the locality of the Hamiltonian, we show that $M$ local observables can be learned with probability $1-\delta$ to precision $\epsilon$ with using only $N=O\big(\log\big(\frac{M}{\delta}\big)e^{polylog(\epsilon^{-1})}\big)$ samples -- an exponential improvement on the precision over previous bounds. Our results apply to both families of ground states of Hamiltonians displaying local topological quantum order, and thermal phases of matter with exponential decay of correlations. In addition, our sample complexity applies to the worse case setting whereas previous results only applied on average. Furthermore, we develop tools of independent interest, such as robust shadow tomography algorithms, Gibbs approximations to ground states, and generalisations of transportation cost inequalities for Gibbs states.

연구 동기 및 목표

• 양자 물질의 국소 및 준국소 관측 가능성을 추정하기 위한 효율적 알고리즘 개발.
• 계산 복잡도를 시스템 크기의 다항로그 스케일링 및 관측 가능성이 국소적인 데에 다항식 스케일링으로 줄이는 것.
• 기존의 고전적 샤드와 하미르토니안 학습을 비가환 하미르토니안과 상관관계가 지수적으로 감쇠하는 상태로 확장하는 것.
• 상태 학습의 평균 사례가 아닌 개별 사례 오차 보장을 제공하는 것.
• 국소적으로 구별 불가능한 상태에 대한 수송 비용 부등식과 길버트 근사법을 사용한 견고한 이론적 기초 구축.

제안 방법

• 상관관계의 지수적 감쇠 조건 하에서 고체 및 길버트 상태에 적합한 견고한 샤드 톰그래피 프로토콜 개발.
• 국소 마르코프 성질을 활용해 국소적으로 구별 불가능한 고체 상태에 대한 길버트 근사법 도입.
• 비가환 하미르토니안에 대해 일반화된 수송 비용 부등식을 적용해 추정 오차를 제한.
• 국소 항과 유계 자코비안 도함수를 통한 하미르토니안 매개변수화로 관측 가능성 민감도 제어.
• 비 i.i.d. 샤드 톰그래피를 사용하여 동일하지 않은 복사본을 다루기 위해 상태 하위 집합의 경험 평균 적용.
• 측정의 집중성과 국소 관측 가능성이 외부 요동에 대해 부드러운 성질을 활용해 소수의 표본으로도 일반화 보장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 크기의 다항로그 스케일링으로 국소 및 준국소 관측 가능성을 추정할 수 있는가?
• RQ2 갭이 있는 및 열적 상태에서 관측 가능성을 학습할 때 이전 방법에 비해 정밀도 스케일링을 지수적으로 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 고전적 샤드 기반 학습을 비가환 하미르토니안과 상관관계가 지수적으로 감쇠하는 상태로 확장할 수 있는가?
• RQ4 상태 학습에서 평균 사례 외에 개별 사례 오차 보장을 제공할 수 있는가?
• RQ5 국소적으로 구별 불가능한 고체 상태에 대해 견고한 길버트 근사법을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• M개의 국소 관측 가능성을 정밀도 ε와 실패 확률 δ로 학습하는 데에 표본 복잡도가 O(log(M/δ) · e^{polylog(ε⁻¹)})로 나타나며, 이는 이전 작업에 비해 ε 스케일링에서 지수적 향상이다.
• 모든 광범위한 성질을 추정하기 위해 필요한 복사본 수는 시스템 크기의 다항로그 스케일링이며 관측 가능성이 국소적인 데에 다항식 스케일링으로 나타나며, 이는 [RF21]과 [AAKS21]의 추측을 해결한다.
• 이 프레임워크는 상관관계가 지수적으로 감쇠하는 열적 상태와 갭이 있는 하미르토니안의 고체 상태 모두에 적용 가능하며, 일반화된 국소 위상 순서를 가진 경우에도 적용 가능하다.
• 이전의 평균 사례 기반 보장과 달리, 개별 상태에 대한 오차 보장을 확립하여 상ases의 어떤 개별 상태에서도 신뢰할 수 있는 복원 보장.
• 비 i.i.d. 복사본을 다루기 위해 하위 집합의 경험 평균을 사용한 비 i.i.d. 샤드 톰그래피로 확장되었으며, 비 i.i.d. 행렬 베르누이 불등식을 통해 수렴 한계를 도출.
• 비가환 하미르토니안에 대한 수송 비용 부등식과 국소적으로 구별 불가능한 상태의 길버트 근사법 등의 이론적 도구를 개발하였으며 분석에서 효과적임을 입증.