[논문 리뷰] Empirical central limit theorems for ergodic automorphisms of the torus

Jérôme Dedecker, Florence Merlevède외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 12.

Mathematical Dynamics and FractalsMathematics참고 문헌 17인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 관측 함수의 미세한 연속성 조건 하에서 토러스의 에르고딕 자기동형사상에 대한 순차적 경험과정의 약한 수렴을 확립한다. 비적응 시계열과 조건부 기대값 추정에 대한 새로운 모멘트 부등식을 사용하여, $L^p$ 및 균일 위상에서 가우시안 과정으로의 수렴을 증명하며, 이는 토러스 상의 종속적이고 i.i.d.가 아닌 동역계에 대한 기능 중심극한정리의 확장을 제공한다.

ABSTRACT

Let T be an ergodic automorphism of the d-dimensional torus T^d, and f be a continuous function from T^d to R^l. On the probability space T^d equipped with the Lebesgue-Haar measure, we prove the weak convergence of the sequential empirical process of the sequence (f o T^i)_{i \geq 1} under some mild conditions on the modulus of continuity of f. The proofs are based on new limit theorems and new inequalities for non-adapted sequences, and on new estimates of the conditional expectations of f with respect to a natural filtration.

연구 동기 및 목표

• d차원 토러스의 에르고딕 자기동형사상에 대한 순차적 경험과정의 약한 수렴을 확립하기 위해.
• 독립적이지 않은, i.i.d.가 아닌 시계열이 발생하는 결정론적 동역계에 대한 기능 중심극한정리를 확장하기 위해.
• 경험과정이 가우시안 극한으로 수렴하기 위한 관측 함수의 연속성 모듈러스에 대한 조건을 제공하기 위해.
• 비적응적이고 약간의 종속성을 가진 시계열에 대한 새로운 확률적 도구—모멘트 부등식과 조건부 기대값 추정—을 개발하기 위해.
• 부분합에 대한 응용, 특히 약한 불변성 원리와 강한 불변성 원리에서의 수렴 속도를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 부드러운 바나흐 공간, 특히 $L^p$-값 과정에 대해 종속 시계열에 대한 새로운 중심극한정리를 도출하기 위해.
• 비적응적이고 약간의 종속성을 가진 시계열에 대한 새로운 로젠탈 유형의 부등식을 확립하여 경험과정의 모멘트를 제어하는 데 핵심적인 역할을 하기 위해.
• 린드 분할에서 유도된 필터레이션에 대한 관측 함수의 조건부 기대값을 제어하는 핵심 추정(정리 19)을 도입하기 위해.
• 에르고딕 토럴 자기동형사상의 스펙트럼 성질과 관련 선형사상 $S$의 구조를 이용하여 종속성의 감쇠를 제어하기 위해.
• Kiefer 과정 이론을 적용하여 $[0,1] \times \mathbb{R}^\ell$ 상의 균일 위상에서 극한 가우시안 과정을 특성화하기 위해.
• 관측 함수 $f$의 연속성 모듈러스와 조건부 기대값의 감쇠 사이의 연결을 활용하여 푸리에 계수 또는 로그 특이성에 대한 적분 조건을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측 함수 $f$의 연속성 모듈러스에 대해 어떤 조건이 성립할 경우 순차적 경험과정 $\{n^{-1/2}S_{[nt]}(s)\}$ 이 가우시안 과정으로 약하게 수렴하는가?
• RQ2 비적응 시계열에 대한 모멘트 부등식은 비하이퍼볼릭 토럴 자기동형사상과 같은 장거리 종속성을 가진 동역계로 확장될 수 있는가?
• RQ3 헤일더 정규성 조건 없이 관측 함수 $f$의 연속성 모듈러스만을 사용하여 조건부 기대값 추정을 제어할 수 있는가?
• RQ4 이러한 결과는 부분합에 대한 약한 불변성 원리와 강한 불변성 원리에서의 수렴 속도에 대해 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 경우에 따라 종속적인 경우, 토러스 상의 경험과정의 극한 행동은 Kiefer 과정 유형의 극한을 사용하여 어느 정도 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 순차적 경험과정 $\{n^{-1/2}S_{[nt]}(s), t \in [0,1], s \in \mathbb{R}^\ell\}$ 이 $\ell^\infty([0,1] \times \mathbb{R}^\ell)$ 상에서 일반화된 키퍼 과정으로 약하게 수렴한다. 이는 시간에 대해 독립적인 증분을 가지며, $f$에 따라 공분산이 결정되는 가우시안 과정이다.
• 일반적으로 $\ell=1$일 경우, 과정 $\{n^{-1/2}S_{[nt]}(s)\}$ 이 $D_{L^p}([0,1])$ 상에서 $L^p$-값 웨이너 과정으로 약하게 수렴하며, 이는 잘 특성화된 공분산 연산자와 함께 존재한다.
• 조건 $\sum_{n>0} \frac{\omega(f, \zeta^n)}{\sqrt{n}} < \infty$ 는 임의의 $p > 2$ 에 대해 $\left\| \max_{1 \leq k \leq n} \left| \sum_{i=1}^k (f \circ T^i - \bar{\lambda}(f)) \right| \right\|_p \ll n^{1/2}$ 를 암시하며, 이는 모멘트 경계를 보장한다.
• 적분 조건 $\int_0^{1/2} \frac{\omega(f,t)}{t |\log t|^{1/2}} dt < \infty$ 는 분산 급수 $\sigma^2(f)$ 의 절대 수렴성과 부분합에 대한 약한 불변성 원리를 보장한다.
• $a > 1/2$ 일 경우 강한 불변성 원리에서의 수렴 속도는 거의 확실히 $o(n^{1/2 - \epsilon})$ 이다; $a \geq 3/2$ 일 경우 속도는 $n^{1/4} \log n$ 으로 향상된다.
• 핵심 추정(정리 19)은 $\omega(f, \cdot)$ 를 통해 $\mathbb{E}_0[g^{(0)}_{s,t}(X_j) g^{(0)}_{s,t}(X_{j+i})]$ 의 조건부 기대값을 제어하며, 헤일더 정규성 조건 없이도 타이트니스와 수렴 증명이 가능하게 한다.