[논문 리뷰] Enhancing accuracy for solving American CEV model with high-order compact scheme and adaptive time stepping

Chinonso Nwankwo, Weizhong Dai외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 07.

Differential Equations and Numerical MethodsMathematics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 미국형 옵션의 비선형이고 결합된 PDE 시스템을 상수 변동성의 비율(CEV) 모델에서 해결하기 위해 고차수의 근사적 유한차분 스킴과 적응형 시간 스텝, 국소 메쉬 정밀화를 조합한 방법을 제안한다. 제안된 방법은 제4차 분석적 근사법을 사용한 조기 행사 경계의 근사와 비균일 제4차 유한차분 스킴, 5(4) 도르만-프라인스 시간 적분을 결합함으로써 조밀한 격자에서도 높은 정확도를 달성하며, 계산 비용을 크게 줄이고 기존의 크랭크-니콜슨 및 인공 경계 접근법을 능가한다.

ABSTRACT

In this research work, we propose a high-order time adapted scheme for pricing a coupled system of fixed-free boundary constant elasticity of variance (CEV) model on both equidistant and locally refined space-grid. The performance of our method is substantially enhanced to improve irregularities in the model which are both inherent and induced. Furthermore, the system of coupled PDEs is strongly nonlinear and involves several time-dependent coefficients that include the first-order derivative of the early exercise boundary. These coefficients are approximated from a fourth-order analytical approximation which is derived using a regularized square-root function. The semi-discrete equation for the option value and delta sensitivity is obtained from a non-uniform fourth-order compact finite difference scheme. Fifth-order 5(4) Dormand-Prince time integration method is used to solve the coupled system of discrete equations. Enhancing the performance of our proposed method with local mesh refinement and adaptive strategies enables us to obtain highly accurate solution with very coarse space grids, hence reducing computational runtime substantially. We further verify the performance of our methodology as compared with some of the well-known and better-performing existing methods.

연구 동기 및 목표

• 강한 비선형성과 시간에 따라 변화하는 계수를 갖는 미국형 CEV 모델이 야기하는 수치적 과제를 해결하기 위해, 특히 이동하는 자유 경계와 그 도함수를 다루는 것.
• CEV 프레임워크 하에서 옵션 가격과 델타 민감도를 기술하는 결합된 PDE 시스템의 해의 정확도와 효율성을 향상시키기 위해.
• 국소 메쉬 정밀화와 적응형 시간 스텝을 통해 조밀한 공간 격자에서도 높은 정확도를 달성함으로써 계산 실행 시간을 단축시키기 위해.
• 정규화된 자유 경계 PDE 문제를 해결하기 위한 강력하고 확장 가능한 수치적 프레임워크를 제공하기 위해, 잠재적으로 제도 전환 및 국소 변동성 모델로의 확장도 고려함.

제안 방법

• 옵션 가격과 델타 민감도 방정식의 반산적 공간 이산화에 비균일 제4차 유한차분 스킴을 적용한다.
• 최적의 행사 경계는 정규화된 제곱근 함수에서 유도된 제4차 분석적 근사법을 사용하여 근사하며, 경계 추적 성능을 향상시킨다.
• 적응형 시간 적분에 5(4) 도르만-프라인스 임베디드 쌍을 사용하여 국소 오차를 제어하기 위해 단계 크기를 동적으로 조정한다.
• 특히 조기 행사 경계 근처에서 기울기가 큰 영역에 국소 메쉬 정밀화를 적용하여 필요에 따라 해상도를 향상시킨다.
• 해를 안정화하고 다양한 변동성 매개변수 $ \alpha $ 에서 수렴성을 향상시키기 위해 $ x = \ln(S / s_f(\tau)) $ 를 사용한 도메인 변환을 시행한다.
• 경계와 옵션 가격이 반복적 결합을 통해 동시에 계산되는 고정-자유 경계 문제로 시스템을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 유한차분 및 경계 방법에 비해, 적응형 시간 스텝을 적용한 고차수의 근사 유한차분 스킴이 미국형 CEV 모델에 대해 뛰어난 정확도와 효율성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 이동하는 자유 경계를 갖는 CEV 모델을 해결할 때 국소 메쉬 정밀화가 정확도와 계산 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 5(4) 도르만-프라인스 방법에서 오차 허용치 $ \epsilon $ 와 제어자 매개변수 $ \rho $ 의 선택이 해의 정확도와 안정성에 어느 정도의 영향을 미치는가?
• RQ4 조기 행사 경계의 제4차 분석적 근사가 계산 복잡도를 증가시키지 않으면서도 수치적 해의 정확도를 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법이 매우 조밀한 공간 격자에서도 높은 정확도를 유지할 수 있는가? 이는 고차원 옵션 가격 결정 문제로의 확장 가능성을 시사한다.

주요 결과

• 제안된 방법은 큰 공간 스텝 크기 조건에서도 크랭크-니콜슨, 리우 [26]의 방법, 웡과 조우의 [52] 인공 경계 방법과 비교해 정확도가 유사하거나 뛰어나다.
• 특히 $ \alpha = -1 $, $ K/S_0 = 35/40 $, $ h = 0.03 $ 인 경우 DCSL 스킴은 옵션 가격을 4.0408로 계산하며, 다른 방법의 기준값과 매우 유사하다.
• 해의 정확도는 오차 허용치 $ \epsilon $ 에 매우 민감하며, $ \epsilon $ 가 $ 10^{-4} $ 에서 $ 10^{-6} $ 으로 감소함에 따라 정확도가 크게 향상되나, $ \rho $ 의 변화에는 민감하지 않다.
• 적응형 시간 스텝은 특히 $ |\alpha| $ 가 클수록 더 큰 강성으로 인해 더 작은 시간 스텝이 필요하므로, 필요한 시간 스텝 수를 줄인다.
• 비균일 격자 스킴에 비해 스테이지별로 구현된 고유의 유한차분 스킴은 조밀한 격자에서 정확도를 향상시키며, 공간 복잡도를 감소시킨다.
• 매우 조밀한 격자에서도 높은 정확도를 유지하므로, 제도 전환 옵션과 같은 고차원 문제로의 확장 가능성이 매우 높다.