[논문 리뷰] Enriched monoidal categories I: centers

Liang Kong, Wei Yuan외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 59인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 배경 카테고리가 다양할 수 있는 일반화된 2-카테고리 프레임워크 내에서 강화(브레이드된) 모노이드 카테고리의 $E_0$-, $E_1$-, $E_2$-센터를 제안한다. 이들은 정규화된 구성 방법을 통해 명시적으로 계산되며, 강화된 대칭 모노이드 카테고리의 $E_2$-센터가 카테고리 자체와 동형임을 입증한다. 이는 위상적 위상과 고차 표현 이론에 응용된다.

ABSTRACT

This work is the first one in a series, in which we develop a mathematical theory of enriched (braided) monoidal categories and their representations. In this work, we introduce the notion of the $E_0$-center ($E_1$-center or $E_2$-center) of an enriched (monoidal or braided monoidal) category, and compute the centers explicitly when the enriched (braided monoidal or monoidal) categories are obtained from the canonical constructions. These centers have important applications in the mathematical theory of gapless boundaries of 2+1D topological orders and that of topological phase transitions in physics. They also play very important roles in the higher representation theory, which is the focus of the second work in the series.

연구 동기 및 목표

• 다른 배경 카테고리를 가진 카테고리 간의 함자를 允허하는 일반화된 강화(브레이드된) 모노이드 카테고리 이론을 개발하는 것.
• 배경 카테고리의 변화를 지원하는 2-카테고리 프레임워크 내에서 강화된 카테고리의 $E_0$-, $E_1$-, $E_2$-센터를 정의하고 계산하는 것.
• 특히 대칭 모노이드 배경의 경우를 포함하여 정규화된 구성 방법을 사용해 이러한 센터의 명시적 기술을 제공하는 것.
• 특히 금속 경계와 위상적 위상 전이에 관련된 고체물리학 분야에서의 응용을 포함한 고차 표현 이론의 기초 프레임워크를 마련하는 것.
• 전통적인 대칭 모노이드 기반을 초월해 브레이드된 및 대칭 모노이드 기반을 통합함으로써 고전적 강화 카테고리 이론을 일반화하는 것.

제안 방법

• 임의의 배경 카테고리(브레이드된 및 대칭 모노이드 포함)를 가진 강화 카테고리의 2-카테고리를 도입한다.
• 배경 카테고리의 변화를 허용하는 일반화된 강화 함자와 자연 변환을 정의함으로써 표현 이론에 대한 민첩한 프레임워크를 제공한다.
• $E_0$-센터를 강화 카테고리에 대한 보편적 구성으로 정의하며, 강화된 맥락에서 드린펠트 센터를 일반화한다.
• 정규화된 구성 방법을 적용하여 배경 카테고리 위의 모듈러 구조로부터 강화된 모노이드 및 브레이드된 모노이드 카테고리를 생성한다.
• 강력한 단위를 가진 브레이드된 모듈러 카테고리 이론을 활용하여 강화된 대칭 모노이드 카테고리의 $E_2$-센터를 특성화한다.
• 특정 조건(예: 배경이 대칭이고 모듈러 구조가 강력한 단위를 가짐)에서 센터와 원래 카테고리 간의 동형을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 또는 브레이드된 배경 카테고리를 가진 강화 카테고리에 대해 드린펠트 센터를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 배경 카테고리가 브레이드된 경우 강화된 모노이드 카테고리의 $E_1$-센터는 어떤 구조를 가지는가?
• RQ3 강화된 대칭 모노이드 카테고리의 $E_2$-센터가 정규화된 구성 방법 하에서 원래 카테고리와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 배경 카테고리가 강화된 센터의 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 다양한 배경 카테고리 간에 중심 구성이 함자적일 수 있는가? 이는 통합된 표현 이론을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 강화된 대칭 모노이드 카테고리 $\mathcal{C}$-강화 카테고리 $\mathcal{M}$의 $E_2$-센터는 $\mathcal{C}$-강화된 $\mathfrak{Z}_2(\mathcal{M})$와 동형임을 보여주며, 대칭 강화 하에서 중심이 원래 구조를 복원함을 나타낸다.
• 대칭 융합 카테고리 $\mathcal{E}$에 대해, 표준 구성 $\mathcal{E}\mathcal{E}$의 $E_2$-센터는 $\mathcal{E}\mathcal{E}$ 자체와 동형임을 보여주며, 중심 구성 하에서 자가 dual 성질을 갖는다.
• 비퇴화된 브레이드 융합 카테고리 $\mathcal{A}$와 다중 융합 왼쪽 $\mathcal{A}$-모듈러 $\mathcal{L}$에 대해, $\mathcal{L}$의 $E_1$-센터의 $E_2$-센터는 자명한 카테고리 $\mathbb{k}$와 동치임을 보여주며, 이는 일종의 이중성(duality)을 나타낸다.
• $E_0$-센터는 강화된 자연 동형과 정규화된 함자를 포함하는 보편 성질을 통해 계산되며, 고전적 중심 구성의 일반화이다.
• $E_1$-센터는 강화된 모노이드 카테고리의 경우 드린펠트 중심과 동치임을 입증하여, 고전적 결과를 강화된 맥락으로 확장한다.
• 텐서 단위와 모듈러 구조를 포함하는 정규화된 동형을 사용하여 $Q_1$에서 $Q_2$로의 명시적 강화된 자연 동형 $\alpha$를 구성함으로써 중심 구성의 유일성과 보편성을 증명한다.