[논문 리뷰] Boundary-bulk relation for topological orders as the functor mapping higher categories to their centers

Liang Kong, Xiao-Gang Wen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 63인용 수 51

한 줄 요약

이 논문은 고립된 경계를 가진 상용성의 보편성 성질을 이용해, 유니터리 다중융합 n-카테고리의 중심으로서 일관된 보틀의 수학적 함자적 경계-보틀 관계를 수립한다. 이는 보틀 이론의 유일성을 보편성 성질을 통해 증명하며, 고차원에서의 상용성 분류와 물리적 이중성 관계를 통합하는 카테고리 이론 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between topological orders and their gapped boundaries. We propose that the bulk for a given gapped boundary theory is unique. It is actually a consequence of a microscopic definition of a local topological order, which is a (potentially anomalous) topological order defined on an open disk. Using this uniqueness, we show that the notion of "bulk" is equivalent to the notion of center in mathematics. We achieve this by first introducing the notion of a morphism between two local topological orders of the same dimension, then proving that the bulk satisfying the same universal property as that of the center in mathematics. We propose a classification (formulated as a macroscopic definition) of $n+$1D local topological orders by unitary multi-fusion $n$-categories, and explain that the notion of a morphism between two local topological orders is compatible with that of a unitary monoidal $n$-functor in a few low dimensional cases. We also explain in some low dimensional cases that this classification is compatible with the result of "bulk = center". In the end, we explain that above boundary-bulk relation is only the first layer of a hierarchical structure which can be summarized by the functoriality of the bulk (or center). This functoriality also provides the physical meanings of some well-known mathematical results on fusion 1-categories. This work can also be viewed as the first step towards a systematic study of the category of local topological orders, and the boundary-bulk relation actually provides a useful tool for this study.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차원에서 상용성 이론의 경계-보틀 관계에 대한 엄밀한 수학적 프레임워크를 수립하는 것.
• 국소 상용성 이론의 미세 구조적 정의에 기반해, 주어진 고립된 경계에 대해 보틀 이론의 유일성을 증명하는 것.
• 유니터리 다중융합 n-카테고리의 수학적 중심 개념이 상용성 이론의 물리적 보틀과 정확히 일치함을 보여주는 것.
• 유니터리 다중융합 n-카테고리로 (n+1)차원 국소 상용성 이론을 매크로스코픽하게 분류하는 것.
• 보틀 구성의 함자성(함자적 성질)을 보여주며, 상용성 이론 관계의 계층적 구조를 드러내는 것.

제안 방법

• 저차원의 경우에서 국소 상용성 이론 간의 사상으로서 유니터리 모나드 n-함수를 도입하여 물리적 이중성을 고차원 카테고리로 일반화하는 것.
• 차원 감소와 물리적 구성의 접기 방법을 사용하여, 수학적 중심 구성과 일치하는 보편성 성질을 이용해 보틀을 정의하는 것.
• 강한 유일한 보틀 가정을 사용하여, 경계 상ases를 가진 모든 물리적 구성은 중심의 경계 카테고리와 동치인 유일한 보틀을 가져야 한다는 것을 증명하는 것.
• 경계 상태가 보틀의 고립된 경계가 되는 (n+1)차원 구성에서 접기 절차를 사용해 중심의 물리적 실현을 구성하는 것.
• 2+1차원 이하의 차원에서 유니터리 다중융합 n-카테고리로의 분류가 보틀 = 중심 관계와 호환됨을 보여주는 것.
• 상용성 이론의 카테고리 내에서 고차 사상과 약한 사상이 anyon 응집과 차원 감소와 같은 물리적 과정에 대응됨을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 고립된 경계 이론에 대해 상용성 이론의 보틀 이론이 유일하게 결정되는가?
• RQ2 물리적 개념인 보틀이 카테고리의 중심과 수학적으로 일치하는가?
• RQ3 유니터리 다중융합 n-카테고리로 (n+1)차원 상용성 이론을 분류하는 것과 경계-보틀 이중성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 함자성은 상용성 이론의 계층적 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 anyon 응집과 차원 감소와 같은 물리적 과정은 고차원 카테고리의 수학적 구성과 어떻게 대응되는가?

주요 결과

• 고립된 경계 이론의 보틀은 보편성 성질을 만족하며, 이는 수학적 중심 구성과 정확히 일치한다.
• 상용성 이론의 물리적 보틀은 그 경계 카테고리의 중심과 수학적으로 동치이며, 물리학과 카테고리 이론 간의 정확한 대응 관계를 확립한다.
• 유니터리 다중융합 n-카테고리로 (n+1)차원 국소 상용성 이론을 분류하는 것은 저차원에서의 경계-보틀 관계 '보틀 = 중심'과 호환된다.
• 접기와 차원 감소를 통한 보틀 구성은 카테고리 중심의 물리적 실현을 제공하며, 보편성 성질이 유일성을 보장한다.
• 경계-보틀 관계는 함자적 성질을 가지며, 보틀 구성이 차원 간 카테고리적 구조를 유지하는 계층적 구조를 형성한다.
• 결과는 융합 1-카테고리 이론의 깊은 수학적 결과, 예를 들어 Drinfeld 중심이 가능한 보틀들의 카테고리에서 종단 대상이 되는 보편성에 대해 물리적 해석을 제공한다.