[논문 리뷰] Entanglement entropies of an interval in the free Schr\"odinger field theory on the half line

Mihail Mintchev, Diego Pontello외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 13.

Quantum many-body systems참고 문헌 128인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 영온도 및 유한 밀도에서 반입자 없는 슈뢰딩거 페르미온 장 이론의 반직선에서 경계에 인접한 간격의 얽힘 엔트로피를 조사한다. 베타 함수와 페인레베 III 초월함수를 통한 정확한 해석적 전개를 이용하여, 입자 밀도의 프리델 진동에 기인한 얽힘 엔트로피의 진동 행동이 전 직선에서 관찰되는 단조적 행동과 대조됨을 보여준다. 주요 결과는 차원이 없는 매개변수 η = RkF의 작은 및 큰 영역에서 얽힘 엔트로피를 정밀하게 기술한 해석적 기술이며, 수치적으로 검증되었고 정수 계수를 가진 리프시츠 모델로 확장되었다.

ABSTRACT

We study the entanglement entropies of an interval adjacent to the boundary of the half line for the free fermionic spinless Schr\"odinger field theory at finite density and zero temperature, with either Neumann or Dirichlet boundary conditions. They are finite functions of the dimensionless parameter given by the product of the Fermi momentum and the length of the interval. The entanglement entropy displays an oscillatory behaviour, differently from the case of the interval on the whole line. This behaviour is related to the Friedel oscillations of the mean particle density on the half line at the entangling point. We find analytic expressions for the expansions of the entanglement entropies in the regimes of small and large values of the dimensionless parameter. They display a remarkable agreement with the curves obtained numerically. The analysis is extended to a family of free fermionic Lifshitz models labelled by their integer Lifshitz exponent, whose parity determines the properties of the entanglement entropies. The cumulants of the local charge operator and the Schatten norms of the underlying kernels are also explored.

연구 동기 및 목표

• 반직선에서의 자유 스피너 없는 슈뢰딩거 페르미온 장 이론에서 유한 밀도 및 영온도 조건에서 경계에 인접한 간격의 얽힘 엔트로피를 연구하는 것.
• 경계 조건(노이만 또는 딜레르트)이 얽힘 엔트로피에 미치는 영향과 차원이 없는 매개변수 η = RkF에 대한 의존성 파악.
• 스펙트럼 이론과 특수 함수를 이용하여 작은 및 큰 η 영역에서의 얽힘 엔트로피에 대한 해석적 표현 유도.
• 정수 리프시츠 지수를 가진 자유 페르미온 리프시츠 모델의 가족으로 분석 확장 및 그들의 얽힘 성질 탐구.

제안 방법

• 복제 기법과 레니 엔트로피를 활용하여 감소 밀도 행렬의 거듭제곱의 트레이스를 통해 얽힘 엔트로피를 계산한다.
• 베셀 핵의 스펙트럼 이론과 페인레베 III 초월함수를 이용하여 작은 및 큰 η 영역에서의 얽힘 엔트로피에 대한 정확한 해석적 전개를 도출한다.
• 프로라타 타원파 함수(PSWF)와 그 경계 정규화 시스템으로의 일반화를 통해 사인 핵 스펙트럼 문제의 해를 기반으로 한 분석.
• 키이프 공식 방법을 페인레베 III 방정식에 적용하여 베타 핵 타우 함수의 완전한 점근적 전개를 도출한다.
• 타우 함수 접근법과 PSWF 방법을 사용하여 얽힘 엔트로피 및 그 누적량에 대한 해석적 표현을 유도하고 일관성 검증을 통해 검증한다.
• 결과는 정수 계수를 가진 리프시츠 모델로 확장되며, 지수의 기수성에 따라 얽힘 엔트로피의 정성적 행동이 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 페르미온 슈뢰딩거 장 이론에서 반직선 상의 경계에 인접한 간격의 얽힘 엔트로피는 전 직선 상의 간격과 어떻게 다를까?
• RQ2 반직선 상의 얽힘 엔트로피에서 관찰되는 진동 행동의 근본 원인은 무엇이며, 입자 밀도의 프리델 진동과 어떤 관련이 있는가?
• RQ3 특수 함수와 스펙트럼 이론을 이용하여 작은 및 큰 η(η = RkF) 영역에서 얽힘 엔트로피에 대한 해석적 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 정수 리프시츠 지수를 가진 자유 페르미온 리프시츠 모델의 가족에서 얽힘 엔트로피와 그 누적량은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 결과가 격자 모델의 연속 근사와 일치하는가? 복제 한계와 이중 스케일링과 같은 일관성 검증과의 일치 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 반직선 상의 얽힘 엔트로피는 입자 밀도의 프리델 진동에 기인한 진동 행동을 보이며, 전 직선에서 관찰되는 단조적 증가와 대비된다.
• 얽힘 엔트로피는 차원이 없는 매개변수 η = RkF의 유한 함수이며, 작은 η 영역에서 PSWF 및 타우 함수 접근법을 통해 해석적 전개가 도출된다.
• 큰 η 영역에서는 베타 핵 타우 함수의 점근적 행동에서 유도된 얽힘 엔트로피 전개가 이루어지며, 보조항은 페인레베 III 초월함수를 통해 계산된다.
• 작고 큰 η 영역 모두에서 얽힘 엔트로피에 대한 해석적 표현은 수치적 평가와 놀랄 만큼 높은 일치를 보인다.
• 진동 구조는 경계 근처의 페르미온 모드 간 간섭에 기인하며, 진동의 진폭은 경계 조건(노이만 또는 딜레르트)에 의해 결정된다.
• 정수 지수를 가진 리프시츠 모델의 경우, 지수의 기수성이 얽힘 엔트로피의 정성적 행동을 결정하며, 짝수 및 홀수 지수에 따라 서로 다른 패턴이 나타난다.