[논문 리뷰] Entanglement entropies of an interval in the free Schr\"odinger field theory at finite density

Mihail Mintchev, Diego Pontello외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 12.

Quantum many-body systems참고 문헌 210인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 유한 밀도에서 라이프시츠 지수 z=2인 자유 페르미온 슈뢰딩거 양자장 이론에서의 얽힘 엔트로피를 조사하며, 양자역학적 위상공간 면적에 비례하는 단일 무차원 매개변수에 따라 얽힘 엔트로피가 의존한다는 것을 보여준다. 프로라타 타원파 함수와 타우 함수의 점근적 성질을 이용하여, 작은 위상공간 면적과 큰 위상공간 면적에 대해 해석적 전개를 유도하며, 이는 비상대론적 엔트로피 C 함수가 단조감소하지 않음을 드러내며, 또한 라이프시츠 지수 z의 짝수성/홀수성이 자유 페르미온 모델의 얽힘 구조를 지배한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We study the entanglement entropies of an interval on the infinite line in the free fermionic spinless Schr\"odinger field theory at finite density and zero temperature, which is a non-relativistic model with Lifshitz exponent $z=2$. We prove that the entanglement entropies are finite functions of one dimensionless parameter proportional to the area of a rectangular region in the phase space determined by the Fermi momentum and the length of the interval. The entanglement entropy is a monotonically increasing function. By employing the properties of the prolate spheroidal wave functions of order zero or the asymptotic expansions of the tau function of the sine kernel, we find analytic expressions for the expansions of the entanglement entropies in the asymptotic regimes of small and large area of the rectangular region in the phase space. These expansions lead to prove that the analogue of the relativistic entropic $C$ function is not monotonous. Extending our analyses to a class of free fermionic Lifshitz models labelled by their integer dynamical exponent $z$, we find that the parity of this exponent determines the properties of the bipartite entanglement for an interval on the line.

연구 동기 및 목표

• 비상대론적 양자장 이론에서 라이프시츠 스케일링(z=2)을 가지며, 유한 밀도에서의 이중 엔트로피를 이해하는 것.
• 얽힘 엔트로피가 무차원 위상공간 면적 매개변수 η에 어떻게 의존하는지 설정하는 것.
• 특수함수와 점근적 분석을 이용하여, 작은 및 큰 η 영역에서 얽힘 엔트로피에 대한 해석적 표현을 유도하는 것.
• 비상대론적 엔트로피 C 함수가 상대론적 이론에서와 같이 흐름에 따라 단조감소하는지 조사하는 것.
• 정수 z를 가지는 자유 페르미온 라이프시츠 모델에 분석을 일반화하여, z의 짝수성/홀수성이 얽힘 구조에 어떻게 영향을 미치는지 규명하는 것.

제안 방법

• 엔트로피 스펙트럼을 결정짓는 고유값을 가지는 유한 구간 위의 사인 커널 적분 연산자를 사용한다.
• 사인 커널의 스펙트럼 문제를 분석하기 위해 제로 차수의 프로라타 타원파 함수를 사용한다.
• 특히 작은 및 큰 η 근처에서의 점근 전개를 통해 사인 커널의 타우 함수를 계산한다.
• 격자 모델 결과를 연속극한으로 연결하기 위해 파이저-하트위그 추측 및 그 일반화를 활용한다.
• 레플리카 기법과 스펙트럼 제타함수 기법을 통해 얽힘 엔트로피 및 레니 엔트로피를 계산한다.
• 결과를 일반 정수 라이프시츠 지수 z를 가지는 모델로 확장하며, 홀수 및 짝수 z에 대해 모듈러 해밀토니안과 얽힘 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 슈뢰딩거 장 이론에서 유한 밀도일 때, 얽힘 엔트로피는 위상공간 면적 매개변수 η에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 연속극한에서 얽힘 엔트로피는 유한하고 잘 정의되어 있는가? 작은 및 큰 η 영역에서 어떤 해석적 형태를 취하는가?
• RQ3 비상대론적 엔트로피 C 함수는 상대론적 CFT와 마찬가지로 η에 의해 생성된 흐름에 따라 단조감소하는가?
• RQ4 라이프시츠 지수 z의 짝수성/홀수성은 자유 페르미온 모델의 이중 얽힘 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이중 스케일링 근처에서 η = κF L을 취할 때, 격자 모델의 결과와 본 연구에서 유도한 연속극한 해석적 표현 간의 일치 여부는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 얽힘 엔트로피는 무차원 위상공간 면적 매개변수 η에 대해 유한하고 단조증가하는 함수이다.
• 작은 η 근처에서, 얽힘 엔트로피는 log(η)에 비례하는 로그 발산을 보이며, 이는 사인 커널의 타우 함수로부터 유도된 보편 계수를 가진다.
• 큰 η 근처에서, 얽힘 엔트로피는 일정한 값으로 수렴하며, 이에 대한 보조항은 다이로그함수 및 베르누이 수를 포함하는 급수로 기술된다.
• 비상대론적 엔트로피 C 함수의 비슷한 형태는 단조감소하지 않으며, 이는 상대론적 CFT에서 관찰되는 성질과 정반대이다.
• 정수 z를 가지는 자유 페르미온 라이프시츠 모델에서, z의 짝수성/홀수성은 엔트로피 스펙트럼의 정성적 구조와 모듈러 해밀토니안의 행동을 결정짓는다.
• 이론적 연속극한 해석적 전개가 격자 결과와 이중 스케일링 근처에서 일치함을 확인하였으며, 기존의 파이저-하트위그 점근적 성질과도 일치함을 보였다.