[논문 리뷰] Trace formulas for Wiener--Hopf operators with applications to entropies of free fermionic equilibrium states

Hajo Leschke, Alexander V. Sobolev외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 14.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 29인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 비연속 함수와 유계가 아닌 영역에 대해 일차원 위너–홉프 연산자의 균일한 트레이스 노름 추정과 준고전적 점근 공식을 수립한다. 하로ลด 유펜의 고전적 결과를 비연속 함수와 유계가 아닌 영역으로 확장하며, 저자들은 이러한 트레이스 공식을 이용해 양자 얽힘 엔트로피(EE)와 국소 엔트로피의 날카운 균일한 점근적 행동을 도출한다. 이는 영온도 근처에서의 기저 상태 EE 행동과 일致함을 보여준다. 주요 기여는 소온도 T와 큰 α(준고전적 매개변수)에서 모두 날카로운 점근 공식을 유지하는 열적 EE에 대한 통합된 점근 공식을 제공하는 것으로, T에 대한 상용 로그 발산이 α ∼ 1/T로 식별될 때 알려진 영온도 결과와 일致한다.

ABSTRACT

We consider non-smooth functions of (truncated) Wiener--Hopf type operators on the Hilbert space $L^2(\mathbb R^d)$. Our main results are uniform estimates for trace norms ($d\ge 1$) and quasiclassical asymptotic formulas for traces of the resulting operators ($d=1$). Here, we follow Harold Widom's seminal ideas, who proved such formulas for smooth functions decades ago. The extension to non-smooth functions and the uniformity of the estimates in various (physical) parameters rest on recent advances by one of the authors (AVS). We use our results to obtain the large-scale behaviour of the local entropy and the spatially bipartite entanglement entropy (EE) of thermal equilibrium states of non-interacting fermions in position space $\mathbb R^d$ ($d\ge 1$) at positive temperature, $T>0$. In particular, our definition of the thermal EE leads to estimates that are simultaneously sharp for small $T$ and large scaling parameter $\alpha>0$ provided that the product $T\alpha$ remains bounded from below. Here $\alpha$ is the reciprocal quasiclassical parameter. For $d=1$ we obtain for the thermal EE an asymptotic formula which is consistent with the large-scale behaviour of the ground-state EE (at $T=0$), previously established by the authors for $d\ge 1$.

연구 동기 및 목표

• 비연속 함수에 대해 위너–홉프 연산자의 준고전적 트레이스 점근 공식을 확장하여 이전의 연속 함수 결과의 한계를 극복한다.
• 온도 T와 준고전적 매개변수 α와 같은 물리적 매개변수에 대해 균일한 유효성을 갖는 비연속 함수를 포함한 연산자 차이의 트레이스 노름에 대한 균일한 추정을 수립한다.
• 비상호작용 페르미온의 위치 공간 Rd(d ≥1)에서 열적 평형 상태에서의 국소 및 이분할 얽힘 엔트로피(EE)의 대규모 행동을 분석한다. 특히 T > 0 및 α → ∞ 영역에서의 행동을 중심으로 한다.
• 소온도 및 대규모 α 근처에서 모두 날카로운 점근 공식을 유지하는 열적 EE에 대한 점근 공식을 유도하며, T에 대한 상용 로그 의존성이 영온도 결과와 일치함을 보인다.

제안 방법

• 자기수반 연산자의 비연속 함수 f를 복소평면 위의 적분을 통해 표현하기 위해 헬러–지스트란드 공식을 사용하여 연산자 차이의 분석을 가능하게 한다.
• 온도 T와 같은 물리적 매개변수에 대한 연산자 노름의 의존성을 제어하기 위해 다중 척도 기호 a(ξ)를 도입하여 α와 T에 대해 균일한 추정을 확보한다.
• 최근의 비연속 함수에 대한 위너–홉프 연산자에 대한 슈체텐–폰 노름 추정의 발전을 응용하여, 트레이스 클래스(S1) 및 슈체텐 클래스 Sq에서의 균일한 바OUNDS를 도출한다.
• 일차원에서 연산자 차이 Dα(a, Λ; f)의 트레이스에 대한 준고전적 점근 공식을 유도하기 위해, 매끄러운 커파이트 함수를 통해 f를 매끄럽고 특이한 부분으로 분해하는 방법을 사용한다.
• 트레이스와 연산자 차이 맵 f ↦ Dα(a, Λ; f)의 선형성을 활용하여 얽힘 엔트로피를 기호의 다양한 부분 기여로 분해하고 점근 분석을 가능하게 한다.
• 다중 척도 기호 프레임워크를 사용하여, γ-레니 지수 엔트로피 함수 ηγ에 대해 연산자 차이 Dα(aT,µ, Λ; ηγ)의 트레이스 노름에 대한 균일한 추정을 수립한다. 이 추정은 α와 T에 대해 독립적인 상수를 갖는다 (αT ≥ α0 > 0 조건 하에서).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이점이 하나 있는 함수, 특히 그 점에서 특이성을 갖는 비연속 함수 f에 대해 위너–홉프 연산자의 트레이스에 대한 준고전적 점근 공식을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 온도 T와 준고전적 매개변수 α와 같은 다양한 물리적 매개변수에 대해 유효한, 연산자 차이 Dα(a, Λ; f)의 트레이스 노름에 대한 균일한 추정은 무엇인가?
• RQ3 자유 페르미온 시스템의 열적 평형 상태에서, 양자 얽힘 엔트로피(EE)와 국소 엔트로피의 대규모 점근 행동은 어떻게 되는가? (T > 0 조건 하에서)
• RQ4 T → 0 및 α → ∞의 동시 극한에서 열적 EE는 어떻게 행동하는가? 그리고 이는 알려진 영온도 점근 행동을 복원하는가?

주요 결과

• d = 1일 때, 얽힘 엔트로피 Hγ(T, µ; αI)는 α → ∞ 이면서 αT ≥ α0 > 0 조건 하에서 Hγ(T, µ; αI) = 2ωB(aT,µ, ηγ) + o(|log(T)| + 1)의 점근 공식을 만족한다. 여기서 ω = ω(I) = ω(Ic).
• I가 유계일 경우, 국소 γ-레니 엔트로피는 Sγ(T, µ; αI) = αsγ(T, µ)|I| + 2KB(aT,µ; ηγ) + o(|log(T)| + 1)를 만족한다. 여기서 sγ(T, µ)는 엔트로피 밀도이고 K는 기하학적 인자이다.
• 영온도 근처에서 (T ↓ 0), 얽힘 엔트로피는 Hγ(T, µ; αI) = ωN(1 + γ/(6γ))|log(T)| + o(|log(T)| + 1)로 점근적으로 행동한다. 여기서 N은 페르미 해의 연결된 성분의 수이다.
• 로그 항의 계수 ωN(1 + γ/(6γ))는 알려진 영온도 결과와 정확히 일致하며, T = 0과 T > 0 영역 간의 일致성을 확인한다.
• 논문은 균일한 트레이스 노름 추정을 수립한다: ∥Dα(aT,µ, Λ; ηγ)∥S1 ≤ Cαd−1(|log(T)| + 1). 이 상수는 α와 T에 대해 독립적이며 (αT ≥ α0 조건 하), 페르미 기호 aT,µ에 대해 날카로운 추정이다.
• 비연속 f에 대해, f = fφ + f(1−φ)로 분해함으로써, 매끄러운 커파이트 함수 φ를 사용하고, 다중 척도 기호 프레임워크를 통해 유도된 항들을 추정함으로써, 연산자 차이 Dα(a, Λ; f)의 트레이스에 대한 점근 공식을 도출한다.