[논문 리뷰] Equivariant nonabelian Poincaré duality and equivariant factorization homology of Thom spectra

Jeremy Hahn, Asaf Horev외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $G$-공간의 등변 비아벨 포incare 쌍대성 정리를 확립하여 등변 인자화 homology를 사상 공간으로 표현함으로써, 톰 스펙트럼에 대한 등변 인자화 homology의 계산을 가능하게 한다. 이는 $MU_{\mathbb{R}}$, $H\underline{\mathbb{F}}_2$, $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$, 및 $H\underline{\mathbb{Z}}$의 리얼 토폴로지컬 호흐시ลด 어림(THR)을 계산하는 데에 사용된다. 이로써 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$는 $RO(C_2)$-gradation에서 $H\underline{\mathbb{Z}}$와 이동된 $H\underline{\mathbb{Z}/k}$-모듈의 합으로 분해됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we study genuine equivariant factorization homology and its interaction with equivariant Thom spectra, which we construct using the language of parametrized higher category theory. We describe the genuine equivariant factorization homology of Thom spectra, and use this description to compute several examples of interest. A key ingredient for our computations is an equivariant nonabelian Poincaré duality theorem, in which we prove that factorization homology with coefficients in a $G$-space is given by a mapping space. We compute the Real topological Hochschild homology ($THR$) of the Real bordism spectrum $MU_\mathbb{R}$ and of the equivariant Eilenberg--MacLane spectra $H\underline{\mathbb{F}}_2$ and $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$, as well as factorization homology of the sphere $S^{2σ}$ with coefficients in these Eilenberg--MacLane spectra. In Appendix B, Jeremy Hahn and Dylan Wilson compute $THR(H\underline{\mathbb{Z}})$.

연구 동기 및 목표

• 매개화된 고차 범주론을 사용하여 진정한 등변 인자화 homology의 프레임워크를 개발하기 위해.
• 등변 비아벨 포incare 쌍대성 정리를 확립하여 인자화 homology가 사상 공간과 일치함을 규명하기 위해.
• 핵심 등변 스펙트럼인 $MU_{\mathbb{R}}$, $H\underline{\mathbb{F}}_2$, $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$, 및 $H\underline{\mathbb{Z}}$의 리얼 토폴로지컬 호흐시ลด 어림(THR)을 계산하기 위해.
• 매개화된 $\infty$-범주적 환경에서 $G$-톰 스펙트럼 함자를 통해 등변 톰 스펙트럼과 인자화 homology 간의 상호작용을 기술하기 위해.

제안 방법

• 매개화된 고차 범주론을 사용하여 $V$-프레임드 $G$-다양체에 대한 진정한 등변 인자화 homology를 homology 이론으로 정의한다.
• 등변 아티야 쌍대성과 등변 포incare 쌍대성을 적용하여, $G$-공간 계수를 가진 인자화 homology가 사상 공간으로 주어짐을 증명한다.
• 매개화된 $\infty$-범주에서의 코일리미트로 등변 톰 스펙트럼 함자를 구성하여 앤도-블룸버그-제퍼너-홉킨스-레즈의 모델을 일반화한다.
• 등변 $G$-대칭 모노이드 구조와 데이 콘볼루션을 사용하여 $\mathbb{E}_V$-대수와 $V$-겹 순환 공간을 다룬다.
• 제임스 분해와 $RO(G)$-gradation의 호모토피 계산을 활용하여 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ 및 그 국소화를 분석한다.
• 2-국소화와 유리화를 포함하는 피보트 사각형에 의존하여 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$를 $RO(C_2)$-gradation에서의 합성분으로 분해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개화된 고차 범주론을 사용하여 $G$-다양체에 대한 등변 인자화 homology를 어떻게 공리화하고 계산할 수 있는가?
• RQ2 등변 설정에서 등변 인자화 homology와 사상 공간 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 $\operatorname{THR}(MU_{\mathbb{R}})$, $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{F}}_2)$, 및 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)})$의 명시적 계산은 무엇인가?
• RQ4 $G$-톰 스펙트럼 함자는 인자화 homology와 어떻게 상호작용하며, 그 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ5 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$의 $RO(C_2)$-gradation 분해는 무엇인가?

주요 결과

• $H\underline{\mathbb{Z}}$의 리얼 토폴로지컬 호흐시ลด 어림(THR)은 $RO(C_2)$-gradation에서 $H\underline{\mathbb{Z}}$와 이동된 $H\underline{\mathbb{Z}/k}$-모듈의 직접 합으로 계산된다.
• $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$의 2-국소화는 $\Sigma^{k\rho}H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$-모듈의 직접 합 사이의 사상의 피보트로 식별된다.
• $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$의 계산은 $H\underline{\mathbb{Z}}[1/2]$, $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$, 및 $H\underline{\mathbb{Q}}$를 포함하는 피보트 사각형으로 분해되며, 각 구성요소에서 명시적인 합성분이 존재한다.
• $H\underline{\mathbb{F}}_2$의 $\operatorname{THR}$는 동일한 프레임워크를 사용하여 계산되었으며, 결과는 $RO(C_2)$-gradation에서의 합성분 패턴에 부합한다.
• $MU_{\mathbb{R}}$의 $\operatorname{THR}$는 등변 비아벨 포incare 쌍대성과 $C_2$-등변 톰 스펙트럼의 구조를 사용하여 계산되었다.
• $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$의 $\operatorname{THR}$는 $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)} \otimes \Sigma^\infty_+ \Omega^\sigma S^{\lambda+1}\langle\lambda+1\rangle$와 동치이며, $\Sigma^{k\rho}H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$-합 사이의 사상의 피보트로 계산되었다.