[논문 리뷰] Erd\H{o}s-Burgess constant of commutative semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 24.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 교환 법칙을 만족하는 반군에서의 에르되시-버거 상수 I(𝑆)를 조사하며, 특히 순환 반군의 직근을 다룬다. I(𝑆)가 유한한지 여부를 판단하기 위한 필요 및 충분 조건을 확립하고, 날카운 경계를 제시하며, 유한 아벨 군에서의 다벤포트 상수에 대한 고전적 결과를 일반화하고 통합함으로써 이를 교환 법칙을 만족하는 반군의 맥락으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $\\mathcal{S}$ be a nonempty commutative semigroup written additively. An element $e$ of $\\mathcal{S}$ is said to be idempotent if $e+e=e$. The Erd\\H{o}s-Burgess constant of the semigroup $\\mathcal{S}$ is defined as the smallest positive integer $\\ell$ such that any $\\mathcal{S}$-valued sequence $T$ of length $\\ell$ contain a nonempty subsequence the sum of whose terms is an idempotent of $\\mathcal{S}$. We make a study of ${\ m I}(\\mathcal{S})$ when $\\mathcal{S}$ is a direct product of arbitrarily many of cyclic semigroups. We give the necessary and sufficient conditions such that ${\ m I}(\\mathcal{S})$ is finite, and in particular, we obtain sharp bounds of ${\ m I}(\\mathcal{S})$ in case ${\ m I}(\\mathcal{S})$ is finite, and determine the precise values of ${\ m I}(\\mathcal{S})$ in some cases which unifies some well known results on the precise values of Davenport constant in the setting of commutative semigroups.

연구 동기 및 목표

• 교환 법칙을 만족하는 반군 𝑆, 특히 𝑆가 순환 반군의 직근인 경우에 대해 에르되시-버거 상수 I(𝑆)를 특성화하는 것.
• I(𝑆)가 유한한 데 필요한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• I(𝑆)가 유한할 경우 날카운 상한 및 하한을 도출하는 것.
• 유한 아벨 군에서의 다벤포트 상수에 대한 알려진 결과를 교환 법칙을 만족하는 반군의 맥락으로 일반화하고 통합함으로써 이를 확장하는 것.
• 특정 조건 하에서, 특히 𝑆가 유한 개의 순환 반군의 곱인 경우에 대해 I(𝑆)의 정확한 값을 결정하는 것.

제안 방법

• 에르되시-버거 상수 I(𝑆)를 반군 𝑆 내의 비자기합자유 시퀀스 𝑇에 대해 |𝑇|+1의 상한으로 정의한다.
• 각 성분이 n_i > 1일 경우 니르세미군이 되는 순환 반군 𝒞_{k_i;n_i}의 직근의 구조를 분석한다.
• 성분 중 n_i > 1인 것들과 n_i = 1인 것들 중 최대 k_i를 가진 하나의 대표를 포함하는 부분반군 𝒮′을 생성하기 위해 단사함수 ι: 𝒮′ → 𝒮를 사용하여 문제를 축소한다.
• 레마 3.5를 적용하여 부분시퀀스의 인덱스 합이 비자기합 조건과 어떻게 관련되는지 분석하며, 특히 올림 함수 ⌈k_i/n_i⌉를 활용한다.
• 𝑆의 시퀀스를 𝒮′의 시퀀스로 매핑하는 변환 T ↦ T̃를 구성하여 비자기합자유성을 유지한다.
• ι에 의한 𝒮′와 그 이미지 간의 동형사상 활용으로 I(𝑆)와 I(𝒮′)를 비교하며, 특히 유한성 조건 하에서 I(𝑆) = I(𝒮′)임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 교환 법칙을 만족하는 반군 𝑆가 순환 반군의 직근인 경우, 에르되시-버거 상수 I(𝑆)가 유한한 조건은 무엇인가?
• RQ2 I(𝑆)가 유한할 경우, 날카운 상한 및 하한은 무엇인가?
• RQ3 I(𝑆)가 군 성분 G_𝑆의 다벤포트 상수에 더하여 니르포텐트 구조에 따라 변하는 보정항을 더한 값과 일치하는가?
• RQ4 어떤 경우에 I(𝑆)의 정확한 값이 결정될 수 있는가, 특히 𝑆가 유한 개의 순환 반군의 곱일 경우에 대해?
• RQ5 에르되시-버거 상수가 교환 법칙을 만족하는 반군의 맥락에서, 어떤 방식으로 유한 아벨 군에 대한 고전적 다벤포트 상수를 일반화하는가?

주요 결과

• 에르되시-버거 상수 I(𝑆)는 유한한 성분 수 중 n_i > 1인 성분의 수가 유한하고, n_i = 1인 성분들에 대해 k_i의 상한이 유한할 때에만 유한하다.
• I(𝑆)가 유한할 경우, I(𝑆) = I(𝒮′)임이 성립하며, 여기서 𝒮′은 n_i > 1인 성분들과 n_i = 1인 성분들 중 최대 k_i를 가진 하나의 대표 성분으로 구성된 축소된 반군이다.
• 유한 개의 순환 반군 𝒮 = 𝒞_{k_1;n_1} × ⋯ × 𝒞_{k_r;n_r}에 대해, 에르되시-버거 상수는 I(𝑆) = max_i{(⌈k_i/n_i⌉−1)n_i} + D(G_𝑆)로 주어진다. 여기서 D(G_𝑆)는 군 G_𝑆의 다벤포트 상수이다.
• 특히 모든 k_i = 1일 경우, 반군 𝑆는 유한 아벨 군 ℤ_{n_1} ⊕ ⋯ ⊕ ℤ_{n_r}이 되며, 이 경우 공식은 I(𝑆) = 1 + ∑_{i=1}^r (n_i − 1)로 단순화되며, 이는 정리 D를 재확인한다.
• 공식 I(𝑆) = max_i{(⌈k_i/n_i⌉−1)n_i} + 1 + ∑_{i=1}^r (n_i − 1)은 정확히 r = 1이거나, r = 2이면서 n_i 간에 약수 관계가 있거나, 또는 ∏n_i가 소수 거듭제곱일 때 성립한다.
• 증명은 𝑆 내의 임의의 비자기합자유 시퀀스가 길이를 늘리지 않고 𝒮′ 내의 비자기합자유 시퀀스로 매핑될 수 있음을 보여주며, 이로써 I(𝑆)의 값이 유지됨을 보장한다.