[논문 리뷰] Essentially orthogonal subspaces

Esteban Andruchow, Gustavo Corach|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 13.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 PQ가 컴 pact인 두 직교 프로젝션 (P, Q)의 쌍을 조사하며, 기하학적 분류를 통해 세 하위류로 나눈다: C₀ (유한 차원), C₁ (제한된 그라스만ian), C∞ (푸리에 유형 프로젝션 포함). 주요 기여는 C와 C(P)가 B(H)×B(H)의 매끄럽고 비보완 가능한 C∞-미분 가능 부분다양체임을 증명하는 것으로, C₁의 연결 성분은 프레드홀름 지수로 매개변수화되고 C∞는 연결되어 있음을 보여주며, C₀ 성분은 랭크와 영공간 차원으로 매개변수화된다.

ABSTRACT

We study the set ${\cal C}$ consisting of pairs of orthogonal projections $P,Q$ acting in a Hilbert space ${\cal H}$ such that $PQ$ is a compact operator. These pairs have a rich geometric structure which we describe here. They are parted in three subclasses: ${\cal C}_0$ which consists of pairs where $P$ or $Q$ have finite rank, ${\cal C}_1$ of pairs such that $Q$ lies in the restricted Grassmannian (also called Sato Grassmannian) of the polarization ${\cal H}=N(P)\oplus R(P)$, and ${\cal C}_\infty$. Belonging to this last subclass one has the pairs $$ P_If=χ_If ,\ \ Q_Jf= \left(χ_J \hat{f} ight)\check{\ } , \ \ f\in L^2(\mathbb{R}^n), $$ where $I, J\subset \mathbb{R}^n$ are sets of finite Lebesgue measure, $χ_I, χ_J$ denote the corresponding characteristic functions and $\hat{\ } , \check{\ }$ denote the Fourier-Plancherel transform $L^2(\mathbb{R}^2) o L^2(\mathbb{R}^2)$ and its inverse. We characterize the connected components of these classes: the components of ${\cal C}_0$ are parametrized by the rank, the components of ${\cal C}_1$ are parametrized by the Fredholm index of the pairs, and ${\cal C}_\infty$ is connected. We show that these subsets are (non complemented) differentiable submanifolds of ${\cal B}({\cal H}) imes {\cal B}({\cal H})$.

연구 동기 및 목표

• Hilbert 공간에서 PQ가 컴 pact인 두 직교 프로젝션 (P, Q)의 기하학적 구조를 분석한다.
• 이러한 쌍을 세 하위류로 분류한다: C₀ (유한 차원), C₁ (극화 H = N(P)⊕R(P)에서 제한된 그라스만ian), C∞ (다른 두 하위류의 여집합).
• 이 클래스의 연결 성분을 특성화하며, 랭크/영공간 차원( C₀), 프레드홀름 지수( C₁)로 매개변수화되고 C∞는 연결되어 있음을 보인다.
• C와 C(P)가 B(H)×B(H)의 매끄럽고 비보완 가능한 C∞-미분 가능 부분다양체임을 증명한다.
• 지오데식 기반 국소 매개변수화를 위한 지수 함수를 통한 국소 차트와 미분동형사상 수립.

제안 방법

• 프로젝션 P에 대한 Halmos 분해를 사용하여 힐버트 공간을 직합으로 표현함으로써 Q의 행렬 표현 가능하게 한다.
• Q ∈ C(P)에 대한 제한된 유니터리 군 작용을 적용하여 기하학적 구조와 국소 매개변수화를 연구한다.
• 세 하위류 정의: C₀ (유한 차원), C₁ (극화 H = N(P)⊕R(P)에서 Q가 제한된 그라스만ian에 속함), C∞ (다른 두 하위류의 여집합).
• R(P), R(Q) 내의 정규직교 기저 {ξₙ}, {ψₙ}을 통한 C의 공간적 특성화: n ≠ k일 때 ⟨ξₙ, ψₖ⟩ = 0 이고 ⟨ξₙ, ψₙ⟩ → 0.
• 지수 함수를 통한 국소 차트 구성: Q′이 Q에 가까울 때 Q′ = e^{iX}Qe^{-iX}이며, X는 자기수반, X-대각선 외 성분이며 ||X|| < π/2.
• 역함수 정리에 의한 매끄러움 증명: (X,Y) ↦ (e^{iX}P₀e^{-iX}, e^{iY}e^{iX}Q₀e^{-iY}e^{-iX}) 는 C′ 내의 근방으로의 미분동형사상이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PQ가 컴 pact인 본질적으로 직교하는 프로젝션의 집합 C의 연결 성분은 어떻게 기하학적으로 분류되는가?
• RQ2 C₁의 연결 성분을 매개변수화하는 데 프레드홀름 지수가 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 푸리에 유형 프로젝션을 포함하는 C∞ 집합은 연결되어 있는가?
• RQ4 C와 C(P)는 B(H)×B(H) 내에서 매끄러운 다양체 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ5 C(P) 내의 두 프로젝션 사이의 유일한 최소 지오데식이 C(P) 내에 유지되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• C₀의 연결 성분은 프로젝션의 랭크와 영공간 차원으로 매개변수화된다.
• C₁의 연결 성분은 쌍 (P, Q)의 프레드홀름 지수로 매개변수화된다.
• C∞는 연결되어 있으며, 유한 측도를 가진 집합의 특성 함수를 가진 푸리에 유형 프로젝션 (P_I, Q_J)의 예시로 보여진다.
• C와 C(P)는 B(H)×B(H)의 C∞-미분 가능 부분다양체이지만 보완되지 않는다.
• C(P)의 국소 구조는 대칭, Q-대각선 외 성분을 가진 대수 A_{P₀}의 연산자 공간에 의해 모델링되며, 지수 함수를 통한 미분동형사상이 확립된다.
• ||Q − Q′|| < 1 인 Q, Q′ ∈ C(P₀)에 대해, 그라스만만에서의 유일한 최소 지오데식은 A_{P₀}에 속하는 관련 지수 X를 가지므로 C(P₀) 내에 유지된다.