[논문 리뷰] European Option Pricing Under Generalized Tempered Stable Process: Empirical Analysis

A. H. Nzokem|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 12.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 S&P 500 지수 수익률을 바탕으로 일반화된 온화한 스튜어트(GTS) 분포 하에서 유럽식 옵션 가격을 산정하는 방법을 제안한다. 분포의 구조를 유지하기 위해 에스처 전환(Esscher transform)을 적용하고, 분수 빠른 푸리에 변환(FRFT)과 12점 복합 뉴턴-코테스 적분법을 통해 옵션 가격을 계산한다. 주요 발견은 GTS 하에서 블랙-쇼스 모델이 근접한 행사가(NTM) 및 내재된 옵션(ITM)을 저평가하는 반면, 깊이 외재된(OTM) 및 깊이 내재된 옵션에서는 동일한 가격을 산출한다는 것이다.

ABSTRACT

The paper investigates the performance of the European option price when the log asset price follows a rich class of Generalized Tempered Stable (GTS) distribution. The GTS distribution is an alternative to Normal distribution and $α$-stable distribution for modeling asset return and many physical and economic systems. The data used in the option pricing computation comes from fitting the GTS distribution to the underlying S\&P 500 Index return distribution. The Esscher transform method shows that the GTS distribution preserves its structure. The extended Black-Scholes formula and the Generalized Black-Scholes Formula are applied in the study. The 12-point rule Composite Newton-Cotes Quadrature and the Fractional Fast Fourier (FRFT) algorithms were implemented, and they yield the same European option price at two decimal places. Compared to the option price under the GTS distribution, the Black-Scholes (BS) model is underpriced for the Near-The-Money (NTM) and the in-the-money (ITM) options. However, the BS model and GTS European options yield the same option price for the deep out-of-the-money (OTM) and the deep-in-the-money (ITM) options.

연구 동기 및 목표

• 정규분포 및 α-스튜어트 분포의 대안으로 일반화된 온화한 스튜어트(GTS) 분포 하에서 유럽식 옵션 가격을 조사하기 위해.
• 블랙-쇼스 모델의 한계, 특히 자산 수익률의 꼬리 두꺼움과 비대칭성을 반영하지 못하는 점을 해결하기 위해.
• S&P 500 지수 수익률 데이터에 대해 일곱 개의 파라미터를 갖는 GTS 분포를 실증적으로 캘리브레이션하기 위해.
• 다양한 행사가 수준과 잔존 기간에 따라 블랙-쇼스 모델과 GTS 기반 모델 간의 옵션 가격 산정 성능을 비교하기 위해.
• GTS 프레임워크 하에서 옵션 가격 산정에 대해 분수 빠른 푸리에 변환(FRFT)과 12점 복합 뉴턴-코테스 적분법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 이전 S&P 500 지수 수익률에 대해 일곱 개의 파라미터를 갖는 GTS 분포를 실증적으로 적합하여 로그 자산 가격 동역학을 모델링한다.
• 위험 중립 측도 하에서 GTS 분포의 구조를 유지하기 위해 에스처 전환을 적용하여 등가 마링갈 측도(EMM)를 유도한다.
• 분수 빠른 푸리에 변환(FRFT) 알고리즘을 통해 누적분포함수(CDF)를 계산하여 확장 블랙-쇼스 공식을 적용한다.
• 일반화된 블랙-쇼스 공식을 수치적 기준으로 삼기 위해 12점 규칙 복합 뉴턴-코테스 적분법을 사용한다.
• 옵션 가격을 소수 둘째 자리까지 비교하여 두 계산 방법 간의 일관성을 검증한다.
• 다양한 행사가 수준과 만기 기간에 걸쳐 블랙-쇼스 모델과 GTS 기반 모델 간의 가격 오차를 분석한다.

(a) S&P 500 daily price

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GTS 분포는 자산 수익률의 특징적인 속성(예: 꼬리 두께, 비대칭성)을 반영함으로써 블랙-쇼스 모델 대비 옵션 가격 산정 정확도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ2 FRFT와 복합 뉴턴-코테스 적분법은 GTS 프레임워크 하에서 어떻게 일관된 유럽식 옵션 가격을 산출하는가?
• RQ3 블랙-쇼스 모델과 GTS 모델 간의 가격 오차는 옵션의 행사가 수준과 잔존 기간에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 다양한 행사가 영역에서 블랙-쇼스 모델은 GTS 모델 대비 체계적으로 옵션을 저평가하거나 과대평가하는가?
• RQ5 특히 깊이 외재된 및 깊이 내재된 옵션에서 블랙-쇼스 모델과 GTS 기반 모델 간의 가격 오차의 크기와 패턴은 어떠한가?

주요 결과

• FRFT와 12점 복합 뉴턴-코테스 적분법은 GTS 분포 하에서 옵션 가격을 소수 둘째 자리까지 정확히 동일하게 산출하여 수치적 안정성을 확인한다.
• 블랙-쇼스 모델은 GTS 기반 모델 대비 근접한 행사가(NTM) 및 내재된 옵션(ITM)을 저평가하며, 이는 BS 프레임워크 내에서 심각한 가격 편향이 있음을 시사한다.
• 깊이 외재된(OTM) 및 깊이 내재된 옵션의 경우, 블랙-쇼스 모델과 GTS 기반 모델이 동일한 옵션 가격을 산출하여 극단적인 행사가 수준에서 수렴함을 보여준다.
• 블랙-쇼스 모델은 외재된 옵션에서는 오차가 양수(즉, 과대평가), 당일 행사 또는 내재된 옵션에서는 오차가 음수(즉, 저평가)이며, 이는 바라인스-게이지 프로세스 하에서의 발견과 일치한다.
• GTS 모델 하에서의 가격 오차 크기는 바라인스-게이지 프로세스에서 관측된 것과 略로 다름을 보여주며, 두 모델 간 꼬리 및 비대칭성 역학이 다름을 시사한다.
• GTS 분포에 대해 등가 마링갈 측도(EMM)가 존재하며, 에스처 전환은 GTS의 구조를 유지하므로 위험 중립 가격 산정에서의 적용을 정당화한다.

(b) S&P 500 daily Return ( $\%$ )