[논문 리뷰] Exact completion of path categories and algebraic set theory -- Part I: Exact completion of path categories

Benno van den Berg, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 39인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 '경로 범주'(path categories)를 도입한다. 이는 브라운의 피브라션 대상 범주를 개선한 것으로, 모든 대상이 코프라프트(fibrant)임을 보장하는 조건을 추가한 것이다. 또한 이 경로 범주의 호모토피 정확 완성(homotopy exact completion)을 구성하며, 이는 호모토피 몫을 자유롭게 첨가하는 새로운 범주이다. 주요 결과는 경로 범주의 호모토피 범주가 정확 완성된 결과가 다시 한층 큰 경로 범주의 호모토피 범주가 되며, 약한 $\Pi$-형식과 국소적으로 카르테시안 닫힘 등 호모토피적 구조를 유지하고 강화함을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce the notion of a "category with path objects", as a slight strengthening of Kenneth Brown's classic notion of a "category of fibrant objects". We develop the basic properties of such a category and its associated homotopy category. Subsequently, we show how the exact completion of this homotopy category can be obtained as the homotopy category associated to a larger category with path objects, obtained by freely adjoining certain homotopy quotients. In a second part of this paper, we will present an application to models of constructive set theory. Although our work is partly motivated by recent developments in homotopy type theory, this paper is written purely in the language of homotopy theory and category theory, and we do not presuppose any familiarity with type theory on the side of the reader.

연구 동기 및 목표

• 브라운의 피브라션 대상 범주 개념을 강화하여 모든 대상이 코프라프트임을 보장하는 '경로 범주'의 개념을 도입하고 형식화하기.
• 이러한 범주의 호모토피 이론을 개발하며, 연결 구조를 가진 경로 대상과 호모토피 상수로의 대체를 허용하는 대체 채움 조건을 포함한다.
• 기존의 정확 완성의 일반화인, 호모토피 몫을 자유롭게 첨가하는 호모토피 정확 완성의 구축.
• 이 완성이 호모토피적 성질을 유지하고 강화함을 보여주며, 지수형식과 함수 외삽성(function extensionality)과 같은 성질을 포함한다.
• 구성적 집합론과 유형 이론을 호모토피적 환경에서 해석하기 위한 범주론적 기초를 마련하며, 특히 문법적 모델을 통해 이를 다룬다.

제안 방법

• 모든 대상이 코프라프트임을 보장하는 추가 공리들을 만족하는, 피브라션, 약한 동치, 경로 대상 구성이 있는 범주로 경로 범주를 정의한다.
• 경로 범주 $\mathcal{C}$의 호모토피 범주에 호모토피 몫을 자유롭게 첨가하는 새로운 구성인 호모토피 정확 완성 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$를 도입한다.
• $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$가 새로운 경로 범주 $\mathrm{Ex}(\mathcal{C})$의 호모토피 범주와 동치임을 보이며, 이는 피브라션과 약한 동치를 유지하는 구성이다.
• $\mathcal{C}$가 약한 호모토피 $\Pi$-형식(즉, 피브라션 상에서의 호모토피 상수로의 내부 호모토피 동치 내부 함의)을 가진다면, $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$는 국소적으로 카르테시안 닫힘임을 증명한다.
• 정확 완성에서의 내림내림 기법을 사용하여 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$의 슬라이스 범주에서 지수형식을 계산하며, 이는 의사등치관계 위의 공등차수(coequalizers)에 기반한다.
• 원래 범주에서의 순환 경로를 따라의 대상 안정성(transport stability)이 지수형식 구성 과정에서 유지됨을 보이며, 이는 완성된 범주가 원래 범주에서 성립하지 않더라도 함수 외삽성을 유지함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운의 피브라션 대상 범주 개념을 어떻게 강화하여 모든 대상이 코프라프트임을 보장할 수 있으며, 이러한 수정이 호모토피적 결과에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ2 호모토피 범주의 정확 완성을 어떻게 구성할 수 있으며, 이 과정에서 그 호모토피적 구조가 유지되는가?
• RQ3 경로 범주의 호모토피 정확 완성이 어떤 조건에서 국소적으로 카르테시안 닫힘과 슬라이스에서의 지수형식을 상속하는가?
• RQ4 원래 범주에서 이러한 성질이 존재하지 않을 경우, 호모토피 정확 완성이 함수 외삽성과 같은 외삽성 성질을 얼마나 향상시키는가?
• RQ5 이 구성은 기존의 범주론적 모델(특히 세트로이드 모델과 문법적 모델)과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 경로 범주 $\mathcal{C}$의 호모토피 정확 완성 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$는 더 큰 경로 범주 $\mathrm{Ex}(\mathcal{C})$의 호모토피 범주와 동치이며, 따라서 호모토피적 구조를 유지한다.
• $\mathcal{C}$가 약한 호모토피 $\Pi$-형식을 가진다면, $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$는 국소적으로 카르테시안 닫힘이며, 이는 모든 슬라이스 범주가 지수형식을 가짐을 의미한다.
• $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$에서 지수형식의 구성은 의사등치관계 위의 공등차수를 통한 내림내림 기법에 기반하며, 지수형식 과정에서 운반 구조의 안정성이 유지된다.
• 완성 과정은 운반과 등치관계 구조의 유지 덕분에, 원래 범주에서 함수 외삽성이 성립하지 않더라도 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$에서는 함수 외삽성이 성립함을 보장한다.
• $\mathrm{Ex}(\mathcal{C})$는 반완전이고 반호모토피적인 대체 채움 구조를 가지며, 이는 안정성과 외삽성 증명에 핵심적인 기술적 도구이다.
• $\mathcal{C}$가 안정적이고 서로소인 호모토피 합을 가진다면, 호모토피 정확 완성 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$는 프레톱로스(pretope)이며, 강력한 논리적 닫힘 성질을 가짐을 나타낸다.