[논문 리뷰] Existence and Uniqueness results for a class of Generalized Fractional Differential Equations

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 07.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 34인용 수 39

한 줄 요약

이 논문은 리만-리오빌 및 하다르드 도수를 특수한 경우로 포함하는 카투가무폴라의 분수도수로 규정되는 일반화된 분수도수 미분방정식의 클래스에 대해 존재성 및 유일성 정리를 수립한다. 고정점 반복과 Weissinger 고정점 정리의 방법을 사용하여, 비선형 항에 대한 리프시츠 연속성 및 연속성 조건 하에서 유일한 해가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

The author (Bull. Math. Anal. App. 6(4)(2014):1-15), introduced a new fractional derivative, \[{}^ρ\mathcal{D}_a^αf (x) = \frac{ρ^{α-n+1}}{Γ({n-α})} \, \bigg(x^{1-ρ} \,\frac{d}{dx}\bigg)^n \int^x_a \frac{τ^{ρ-1} f(τ)}{(x^ρ- τ^ρ)^{α-n+1}}\, dτ\] which generalizes two familiar fractional derivatives, namely, the Riemann-Liouville and the Hadamard fractional derivatives to a single form. In this paper, we derive the existence and uniqueness results for a generalized fractional differential equation governed by the fractional derivative in question.

연구 동기 및 목표

• 카투가무폴라의 분수도수를 포함하는 일반화된 분수도수 미분방정식의 존재성 및 유일성 결과를 수립하기 위해.
• 리만-리오빌 및 하다르드 도수를 특수한 경우로 포함하는 통합 분수도수를 도입하여 기존의 분수도수 미분방정식 결과를 일반화하기 위해.
• 이러한 일반화된 분수도수로 규정되는 초기값 문제에 대한 엄밀한 분석적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 클래식적인 고정점 기법, 예를 들어 Weissinger 정리를 일반화된 분수도수 미분방정식의 맥락으로 확장하기 위해.
• 리프시츠 조건 및 연속성 조건 하에서 반복적 근사에 의한 해의 유일성과 수렴성을 보장하기 위해.

제안 방법

• 연구는 리만-리오빌 및 하다르드 도수를 일반화하는 카투가무폴라의 일반화된 분수도수를 사용한다. 이는 $ {}^{ ho} abla_{a}^{ u}f(x) = \frac{\rho^{\nu-n+1}}{\text{B}(\nu-n+1, n-\nu)} \bigg{(} x^{1-\rho} \frac{d}{dx} \bigg{)}^{n} \int_a^x \frac{\tau^{\rho-1} f(\tau)}{(x^{\rho} - \tau^{\rho})^{\nu-n+1}} d\tau $ 로 정의되며, 이는 리만-리오빌 및 하다르드 도수를 포함한다.
• 해의 존재성은 일반화된 분수적 적분을 통해 정의된 적분 연산자 $ A $ 를 사용한 순차적 근사 방법을 통해 증명된다.
• 연속성 및 유계성 조건 하에서, 연산자 $ A $ 는 $ C[0,h] $ 내의 닫힘, 볼록, 비어 있지 않은 부분집합 $ U \subset C[0,h] $ 를 자신에게 사상함을 보였다.
• Weissinger 고정점 정리는 반복된 연산자 $ A^j $ 에 적용되며, 수열 $ \sum_{j=0}^\infty \omega_j $ 의 수렴성 조건이 성립한다. 여기서 $ \omega_j = \frac{L^j (h^\rho / \rho)^{\alpha j}}{\Gamma(1 + \alpha j)} $ 이며, 이는 고정점을 유일하게 보장한다.
• 비선형 함수 $ f $ 에 대한 리프시츠 조건은 연속된 반복 간의 차이를 유계화하여 피카르 반복 수열의 수렴성을 이끌어낸다.
• 해는 수열 $ y_n = A^n y_0 $ 의 극한으로 구성되며, 수열 $ \sum \omega_j $ 의 미타그레플레르 함수 성질에 의해 수렴성이 보장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카투가무폴라의 도수로 규정되는 일반화된 분수도수 미분방정식이 어떤 조건에서 해를 갖는가?
• RQ2 이러한 일반화된 분수도수의 맥락에서 해의 존재성 및 유일성은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 클래식적인 고정점 정리, 예를 들어 Weissinger 정리는 이러한 분수도수 방정식의 유일성 증명에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ4 비선형 항의 리프시츠 연속성이 반복적 해의 수렴성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 리만-리오빌 및 하다르드 형태를 포함하는 통합 분수도수의 도입이 존재성 및 유일성 정리의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 카투가무폴라의 일반화된 분수도수로 규정되는 초기값 문제에 대해 순차적 근사 방법을 통해 해의 존재성이 수립되었다.
• 비선형 항 $ f $ 가 두 번째 변수에 대해 리프시츠 조건을 만족할 경우, 해가 유일함이 입증되었다.
• 피카르 반복 수열의 수렴성은 수열 $ \sum_{j=0}^\infty \frac{L^j (h^\rho / \rho)^{\alpha j}}{\Gamma(1 + \alpha j)} $ 의 수렴성에 의해 보장되며, 이는 미타그레플레르 함수 $ E_{\alpha}(L (h^\rho / \rho)^{\alpha}) $ 와 대응된다.
• 연속된 반복 간의 차이는 $ \|A^j y - A^j \tilde{y}\|_{L_\infty[0,x]} \leq \frac{L^j (x^\rho / \rho)^{\alpha j}}{\Gamma(1 + \alpha j)} \|y - \tilde{y}\|_{L_\infty[0,x]} $ 로 유계화되며, 이는 수축적 행동을 보장한다.
• 해는 공간 $ C[0,h] $ 에 속하며, 존재성 및 유일성은 문제의 매개변수에 따라 결정되는 $ h^* > 0 $ 인 컴팩트 구간 $ [0,h] $ 에서 유효하다.
• 오차 한계가 미타그레플레르 함수로부터 유도된 반복 수열을 통한 수렴적 근사 방법을 제공하며, 이는 해를 구성적으로 근사하는 데 기여한다.