[논문 리뷰] Existence and uniqueness results for possibly singular nonlinear elliptic equations with measure data

Linda Maria De Cave, Riccardo Durastanti외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 45인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 p-라플라시안 연산자와 측도 데이터를 포함하는 특이 비선형 타원형 방정식의 해가 존재하고 유일함을 확립한다. 하향항 H(u)는 u=0 근처에서 발산할 수 있으며, 해의 유일성을 보장하기 위해 재정규화된 해의 프레임워크를 도입한다. γ ≤ 1일 때 해는 재정규화되며, p ≠ 2 및 일반적인 비선형성으로 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We study existence and uniqueness of solutions to a nonlinear elliptic boundary value problem with a general, and possibly singular, lower order term, whose model is $$\begin{cases} -\Delta_p u = H(u)\mu & ext{in}\ \Omega,\\ u>0 & ext{in}\ \Omega,\\ u=0 & ext{on}\ \partial\Omega. \end{cases}$$ Here $\Omega$ is an open bounded subset of $\mathbb{R}^N$ ($N\ge2$), $\Delta_p u:= \operatorname{div}(| abla u|^{p-2} abla u)$ ($1<p<N$) is the $p$-laplacian operator, $\mu$ is a nonnegative bounded Radon measure on $\Omega$ and $H(s)$ is a continuous, positive and finite function outside the origin which grows at most as $s^{-\gamma}$, with $\gamma\ge0$, near zero.

연구 동기 및 목표

• 측도 데이터와 가능성이 있는 특이 하향항을 가진 특이 비선형 타원형 방정식의 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 선형 사례(p=2)에서의 재정규화된 해 프레임워크를 비선형 p-라플라시안 설정(1 < p < N)으로 확장하기 위해.
• 특이성 강도 γ ≤ 1일 때 해가 재정규화됨을 증명하여 일반 조건 하에서 유일성을 보장하기 위해.
• 유한한 경우와 특이한 H(u)(예: H(s) ~ s^{-γ})를 모두 다루며, 일반적인 측도 데이터 µ를 고려하기 위해.
• H(s)가 증발하는 경우(즉, 어떤 s > 0에서 H(s) = 0)에 해의 정규성 분석을 통해 유계성과 국소 에너지 적분 가능성을 보여주기 위해.

제안 방법

• 측도 데이터와 특이 하향항을 포함하는 p-라플라시안에 대한 분포해 프레임워크의 사용.
• 특이 H에 대해 H(u)와 µ의 잘라내기 및 정규화를 통한 근사 스킴 구축.
• 성장 제어 및 정규성 테스트를 위해 잘라내기 함수 Tk(u), Gk(u) 및 보조 함수 πk와 θk의 활용.
• 약한 형태에서 극한으로 넘어가기 위해 패투의 보조정리와 리만 수렴정리의 응용.
• 유일성을 보장하기 위해, 컴팩트 지지집합을 가진 S ∈ W^{1,∞}(R)를 사용한 재정규화된 해 개념의 적응.
• 측도와 해의 특이성을 다루기 위해 용량 기반 추론 및 capp-준연속 대표를 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p-라플라시안 방정식에 대해 특이 하향항 H(u)µ와 측도 데이터를 가질 때, 분포해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 해는 언제 유일하며, 재정규화된 해 개념이 유일성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 H(s) ~ s^{-γ}에서 특이성 강도 γ는 해의 적분 가능성과 정규성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 H(s)가 증발할 경우(즉, 어떤 s1 > 0에서 H(s1) = 0), 해는 어떻게 되며, 이는 유계성과 에너지 공간 소속성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 H가 연속적이고 유한할 때(γ = 0), p=2 사례를 초월해 p ≠ 2일 때도 존재성과 유일성 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 측도 데이터와 일반 H(u)를 포함하는 특이 p-라플라시안 문제에 대해 분포해가 존재한다. 이는 γ ≥ 0일 때 s^{-γ} 정도의 특이성을 포함한다.
• γ ≤ 1일 때 해는 재정규화된 해이며, 일반적인 비선형성 H와 분산 측도에 대해서도 유일성을 보장한다.
• γ > 1일 때 해는 W^{1,p}_{loc}(Ω)에 속하지만 반드시 W^{1,p}_0(Ω)에 속하지는 않으며, 잘라내기 Tk(u)는 에너지 공간에 속하지 않을 수 있다.
• H(s)가 증발할 경우(즉, 어떤 s1 > 0에서 H(s1) = 0), γ ≤ 1일 때 해는 W^{1,p}_0(Ω) ∩ L^∞(Ω)에 속하고, γ > 1일 때는 W^{1,p}_{loc}(Ω) ∩ L^∞(Ω)에 속한다.
• H(s1) = 0이고 µ가 분산일 경우(µ_c ≡ 0), 해는 L^∞(Ω)에서 유계이며 ‖u‖_{L^∞(Ω)} ≤ s1를 만족한다.
• H가 감소함수이고 µ가 분산일 경우, 일반적인 p > 1 및 별형이 아닌 영역에서도 재정규화된 해에 대해 유일성이 성립한다.