[논문 리뷰] Existence of solutions for critical Choquard problem with singular coefficients

Yang Yang, Yuling Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 21.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 변분 방법과 네하리 만델라 기법을 사용하여 특수한 계수와 임계 하디-소볼레프 지수를 갖는 분수형 초코르드 방정식에 대해 양의 해와 부호가 바뀌는 해의 존재성을 확립한다. 하디-리틀우드-소볼레프 부등식과 에너지 함수 분석을 활용하여 적절한 매개변수 제약 조건 하에서 최소 에너지의 부호가 바뀌는 해의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the following fractional Choquard type equation: \[ (- Δ)_p^s\, u = λ\frac{|u|^{r-2}u}{|x|^α}\,+γ\big(\int_Ω\frac{|u|^q}{|x-y|^μ}dy\big) |u|^{q-2}u \ \ ext{in } Ω,\ \ u = 0 \ ext{in } \R^N \setminus Ω, \] where $Ω$ is a bounded domain in $\R^N$ with Lipschitz boundary, $p>1$, $0sp$, $0\leqα\leq sp$, $00$, $p\leq r\leq p^*_α$, $p\leq 2q\leq 2p_{μ,s}^*$, $p_α^*=\frac{(N-α)p}{N-sp}$ and $p_{μ,s}^*=\frac{(N-\fracμ{2})p}{N-sp}$ are the fractional critical Hardy-Sobolev and the critical exponents in the sense of Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, respectively. Under some suitable assumptions, positive and sign-changing solutions are obtained.

연구 동기 및 목표

• 특수한 계수와 하디 유형의 잠재력을 포함한 임계 분수형 초코르드 방정식에 대한 해의 존재성을 조사한다.
• 비국소 상호작용을 포함한 임계 지수 문제에 대한 이전 결과를 특수 계수와 초코르드형 비선형성의 조합으로 확장한다.
• 부호가 바뀌는 네하리 만델라 위에서의 최소화를 통해 최소 에너지의 부호가 바뀌는 해의 존재성을 확립한다.
• 분수형 $p$-라플라스 연산자와 하디-리틀우드-소볼레프 임bedding과 관련된 제약 조건 하에서 에너지 함수와 그 임계점의 행동을 분석한다.
• 임계 지수와 특수 가중치가 존재하는 상황에서 팔라이-스무스 시퀀스의 컴팩턴스성과 수렴 성질을 증명한다.

제안 방법

• 가장자기 적분 표현을 통해 정의된 분수형 $p$-라플라스 연산자 $(-\Delta)_p^s$를 사용한다.
• 에너지 함수의 임계점을 식별하기 위해 네하리 만델라 방법을 사용한다.
• 비국소 초코르드 항을 제어하기 위해 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 적용한다.
• 가중치가 있는 분수형 소볼레프 공간 $W_0^{s,p}(\Omega)$ 내에서 팔라이-스무스 시퀀스의 유계성과 약수렴성을 확립한다.
• 집중-콤팩턴스 추론과 노름의 엄밀한 볼록성에 기반하여 최소화 시퀀스의 강수렴성을 증명한다.
• 도수 이론과 호모토피 불변성을 사용하여 네하리 집합에서의 모순을 통해 부호가 바뀌는 임계점의 존재성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 계수와 임계 하디-소볼레프 성장 조건을 갖는 분수형 초코르드 방정식이 양의 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 부호가 바뀌는 네하리 만델라 위에서 문제의 에너지 함수가 최소값을 도달할 수 있는가?
• RQ3 매개변수 $\lambda$는 임계 임계값 $S_{sp,p}$ 근처에서 해의 존재성과 다중성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 리프스 잠재항 $\int_\Omega \frac{|u|^q}{|x-y|^\mu} dy$ 가 팔라이-스무스 시퀀스의 컴팩턴스성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비선형성이 동시에 특수성과 임계 성장 조건을 포함할 경우 최소 에너지의 부호가 바뀌는 해를 구성하는 것이 가능한가?

주요 결과

• 논문은 $\lambda < S_{sp,p}$ 조건 하에서 분수형 하디-소볼레프 부등식의 날카로운 상수 $S_{sp,p}$를 갖는 특수 계수를 포함한 임계 초코르드 문제에 대해 최소한 하나의 양의 해가 존재함을 증명한다.
• 부호가 바뀌는 네하리 만델라 $\mathscr{N}_{sc}$ 위에서 에너지 함수의 최소화를 통해 최소 에너지의 부호가 바뀌는 해의 존재성을 확립한다.
• 부호가 바뀌는 문제에 대한 최소화 시퀀스는 $W_0^{s,p}(\Omega)$ 내에서 강수렴성을 보이며, 이는 양의 부분과 음의 부분 모두에서 식별적으로 0이 아닌 약한 해의 존재를 보장한다.
• 최소화를 통해 얻어진 해 $v$는 $\langle J'(v), v^\pm \rangle = 0$를 만족하여 에너지 함수의 임계점임을 확인한다.
• 저자들은 부호가 바뀌는 해와 관련된 에너지 수준 $c_2$가 두 배의 기저 상태 에너지 수준보다 엄밀히 작음을 보여주며, 이는 비자명성과 양의 해 수준과의 구별성을 나타낸다.
• 비국소 항 $\gamma \int\!\!\int \frac{|v^\pm|^q |v|^q}{|x-y|^\mu} dxdy$ 의 극한이 엄밀히 양수임을 증명함에 따라 $v$ 는 진정으로 부호가 바뀌는 해이며, 상호작용이 소멸하는 양의 부분과 음의 부분의 합이 아님을 보장한다.