[논문 리뷰] Exotic group C*-algebras in noncommutative duality

S. Kaliszewski, Magnus B. Landstad외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 Br(G)를 포함하는 G-불변의 약한*-폐쇄된 부분공간 E ⊆ B(G)와 C*(G)와 Cr(G) 사이의 중간 C*-대수 CE(G) 사이의 일대일 대응을 수립한다. E가 B(G)의 이상이면 CE(G)는 코작용을 가지며, E가 부분대수이면 코중복법을 가짐을 보이며, 비공통적인 비가환 대칭성의 '이국적' 이중성 탐구를 위해 E-교차곱을 도입하고, 이러한 중간 교차곱이 CE(G)와 함께 E-교차곱 이중성 조건을 만족할 것임을 추측한다.

ABSTRACT

We show that for a locally compact group G there is a one-to-one correspondence between G-invariant weak*-closed subspaces E of the Fourier-Stieltjes algebra B(G) containing B_r(G) and quotients C*_E(G) of C*(G) which are intermediate between C*(G) and the reduced group algebra C*_r(G). We show that the canonical comultiplication on C*(G) descends to a coaction or a comultiplication on C*_E(G) if and only if E is an ideal or subalgebra, respectively. When αis an action of G on a C*-algebra B, we define "E-crossed products" B times_{α,E} G lying between the full crossed product and the reduced one, and we conjecture that these "intermediate crossed products" satisfy an "exotic" version of crossed-product duality involving C*_E(G).

연구 동기 및 목표

• G-불변의 약한*-폐쇄된 부분공간 E ⊆ B(G) 중에서 Br(G)를 포함하는 것과 C*(G)와 Cr(G) 사이의 중간 C*-대수 CE(G) 사이의 일대일 대응을 수립하는 것.
• E가 B(G)의 이상인지 또는 부분대수인지에 따라 CE(G)가 코작용 또는 코중복법을 지닌다는 조건을 특성화하는 것.
• C*-동역계 (B, G, α)에 대해 전체 및 축소 교차곱 사이에 놓이는 E-교차곱 B⋊α,E G를 정의하는 것.
• 이러한 E-교차곱이 CE(G)를 포함하는 '이국적' 교차곱 이중성 조건을 만족할 것임을 추측하는 것.
• 비가환 이중성의 맥락에서 이러한 중간 C*-대수의 구조적 성질과 이중성 성질을 탐구하는 것.

제안 방법

• B(G)의 부분공간 E ⊆ B(G)의 영공간을 이용해 C*(G)의 몫으로서 CE(G)를 구성하기 위해 기본 조화해석학을 사용한다.
• C*(G) 위의 표준 코작용 δG를 활용하여, CE(G)가 B(G)에서 이상이면 오직 그때만 코작용을 유도함을 보인다.
• δG의 몫을 이용해 CE(G)가 코중복법을 지닌다는 것과 E가 B(G)의 부분대수일 때 오직 그때만 성립함을 보인다.
• E-교차곱 B⋊α,E G를 전체 교차곱 B⋊αG의 핵 이상 Jα,E에 대한 몫으로서 정의한다.
• EKQR06의 이중성 프레임워크를 사용하여 B⋊α,E G 위의 쌍대 코작용과 CE(G) 위의 코중복법을 연결한다.
• E-교차곱 이중성의 개념을 형식화하기 위해 몫 사상과 동형사상으로 이루어진 가환 다이어그램을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 몫 대수 CE(G)가 C*(G) 위의 표준 코작용으로부터 코작용을 상속할 조건은 무엇인가?
• RQ2 CE(G)가 코중복법을 지닐 때, 이에 해당하는 E ⊆ B(G)의 대수적 조건은 무엇인가?
• RQ3 전체 및 축소 교차곱 사이에 놓이는 E-교차곱 B⋊α,E G를 정의할 수 있는가?
• RQ4 모든 코작용이 어떤 E에 대해 Conjecture 6.12에서 제안한 linke E-교차곱 이중성 조건을 만족하는가?
• RQ5 Conjecture 6.14에서 제안한 linke, B⋊α,E G 위의 쌍대 코작용이 CE(G) 위의 코중복법과 동치인가?

주요 결과

• Br(G)를 포함하는 G-불변의 약한*-폐쇄된 부분공간 E ⊆ B(G)와 C*(G)와 Cr(G) 사이의 중간 C*-대수 CE(G) 사이에 일대일 대응이 존재한다.
• CE(G)가 코작용 M(C*(G)) → M(CE(G) ⊗ C*(G))을 가지는 것은 E가 B(G)에서 이상일 때 오직 그때만 성립한다.
• CE(G)가 코중복법 M(CE(G)) → M(CE(G) ⊗ CE(G))을 지닌다는 것은 E가 B(G)의 부분대수일 때 오직 그때만 성립한다.
• 임의의 작용 (B, α)에 대해, E-교차곱 B⋊α,E G는 이상 Jα,E에 대한 몫으로서 전체 교차곱 B⋊αG의 몫으로서 정의되며, 전체 및 축소 교차곱 사이에 엄밀히 놓인다.
• Conjecture 6.14는 B⋊α,E G 위의 쌍대 코작용이 E-교차곱 이중성 조건을 만족하며, ΦE와 몫 사상으로 이루어진 가환 다이어그램을 포함함을 암시한다.
• 자명한 작용에 대해 ℂ에서는 CE(G) = ℂ⋊ι,E G로 표현되며, 극한 경우인 C*(G) = ℂ⋊ιG 및 Cr(G) = ℂ⋊ι,rG를 일반화한다.