[논문 리뷰] Expansion of Iterated Ito Stochastic Integrals of Arbitrary Multiplicity Based on Generalized Multiple Fourier Series Converging in the Mean

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|2017. 12. 28.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 41인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차수의 반복 Itô 확률적 적분을 $L_2([t,T]^k)$ 공간에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 전개하는 새로운 방법을 제시한다. 이 방법은 단일한 극한 전이를 통해 평균 제곱수 수렴성을 달성하며, 기존의 에르미트 다항식 기반 방법에 비해 수렴 성질과 계산 효율성이 향상된다.

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in the space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ The method of generalized multiple Fourier series for expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ ($k\in\mathbb{N}$) with respect to components of the multidimensional Wiener process is proposed and developed. The obtained expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. In the article it is also obtained the generalization of the proposed method for an arbitrary complete orthonormal systems of functions in the space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}$ as well as for complete orthonormal with weight $r(t_1)\ldots r(t_k)$ systems of functions in the space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}$. The comparison of the considered method with the well-known expansions of iterated Ito stochastic integrals based on the Ito formula and Hermite polynomials is given. The convergence in the mean of degree $2n$ $(n \in \mathbb{N})$ and with probability 1 of the proposed method is proved.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차수 $k$의 반복 Itô 확률적 적분에 대한 평균 제곱수 근사 방법을 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용해 개발하는 것.
• 이 방법을 $L_2([t,T]^k)$에서 임의의 완전 또는thonormal 체계와 가중치가 있는 체계로 확장하는 것.
• 제안된 전개에 대해 제곱수의 평균 수렴과 거의 확실히 수렴하는 성질을 확립하는 것.
• 기존의 에르미트 다항식 기반 전개 방법과 비교하여, 계산 구조와 수렴 행동 측면에서의 이점을 부각하는 것.

제안 방법

• 반복 Itô 확률적 적분과 관련된 커널 함수의 일반화된 다중 푸리에 급수 전개를 $L_2([t,T]^k)$에서 수행한다.
• 전개 계수는 커널 함수와 orthonormal 기저 함수 간의 내적을 통해 계산되며, 이는 체계적인 근사화를 가능하게 한다.
• 기존의 방법에서 흔히 볼 수 있는 다중 극한 과정을 피하기 위해 $L_2$-노름에서 단일한 극한 전이에 의존한다.
• 이 방법은 $L_2([t,T])$에서 임의의 완전 orthonormal 체계 $\{\phi_j(x)\}$뿐 아니라, 가중치 $r(t_1)\cdots r(t_k)$가 있는 가중치 체계로도 일반화된다.
• Itô 적분의 인과적 구조를 처리하기 위해 지시 함수를 통합하여 올바른 확률적 적분 순서를 보장한다.
• Parseval의 항등식과 orthonormal 체계의 성질을 이용하여 이론적 수렴성을 증명하며, 명시적인 오차 추정치를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 차수의 반복 Itô 확률적 적분은 일반화된 다중 푸리에 급수를 통해 어떻게 전개할 수 있으며, 평균 수렴이 보장되는가?
• RQ2 제안된 푸리에 기반 전개 방법의 수렴 성질은 무엇인가? 특히 제곱수의 평균 수렴과 거의 확실히 수렴하는 성질에 대해 설명하라.
• RQ3 기존의 에르미트 다항식 기반 전개 방법과 비교할 때, 제안된 방법의 계산 구조와 수렴 행동 측면에서의 차이는 무엇인가?
• RQ4 이 방법은 $L_2([t,T]^k)$에서 임의의 완전 orthonormal 체계와 가중치가 있는 orthonormal 체계로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 사용한 반복 Itô 확률적 적분 근사에 대한 정확한 평균 제곱수 오차 추정치의 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 전개 방법은 기존의 다중 극한 과정이 필요한 방법들과 달리, 단일한 극한 전이만으로도 평균 제곱수 수렴성을 달성한다.
• 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 제곱수의 평균 수렴이 엄밀히 증명되어 강력한 이론적 보장을 제공한다.
• 임의의 차수 $k$에 대해 전개의 거의 확실한 수렴성이 확립되어 경로 기반 신뢰성을 보장한다.
• 이 방법은 $L_2([t,T])$에서 임의의 완전 orthonormal 체계(예: 레지온드어 및 삼각함수 체계 포함)로 일반화되며, 명시적인 계수 공식이 제공된다.
• 근사의 평균 제곱수 오차에 대한 명시적인 추정치가 유도되었으며, 기저 함수에 대한 일반 조건 하에서도 유효함을 보였다.
• 이 방법은 정확한 평균 제곱수 오차 계산이 가능하며, 정리 12, 13 및 22에서 이를 입증하였고, 일반화된 경우에도 오차 경계가 유지됨을 보였다.