[논문 리뷰] Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 4, Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 $L_2([t, T]^k)$에서 다중 스트라토노비치 확률적 적분의 차수 1에서 4까지의 평균 제곱수 수렴성 확장을 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 제시한다. 수렴성은 레전드르 급수와 삼각 급수 양쪽 모두에 대해 증명되었다. 주요 기여는 기존의 다중 한계 전이 방법과는 달리 단 한 번의 한계 전이만을 요구하는 방법을 제안한 것으로, 비교적 비순환적인 노이즈를 가진 다차원 이토 확률미분방정식의 효율적인 수치적 근사가 가능하게 한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 4 on the basis of the method of generalized multiple Fourier series that are converge in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,2,3,4.$ Mean-square convergence of the expansions for the case of multiple Fourier-Legendre series and for the case of multiple trigonometric Fourier series is proved. The considered expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. This property is very important for the mean-square approximation of iterated stochastic integrals. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noises.

연구 동기 및 목표

• 차수 1에서 4까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 근사하기 위한 수치적으로 효율적인 방법을 개발하는 것.
• Hilbert 공간 $L_2([t, T]^k)$에서 $k = 1,2,3,4$에 대해 확장의 평균 제곱수 수렴성을 보장하는 것.
• 기존의 다중 한계 전이 방법과는 달리 단 한 번의 한계 전이만을 요구함으로써 계산 복잡도를 감소시키는 것.
• 다차원 비순환적인 노이즈를 가진 이토 확률미분방정식의 실용적인 수치적 통합을 가능하게 하는 것.
• 직교 전개를 이용해 고차수 확률적 적분에 대한 푸리에 급수 기법을 일반화하는 것.

제안 방법

• 차수 $k=1,2,3,4$에 대해 $L_2([t, T]^k)$에서 일반화된 다중 푸리에 급수 전개를 사용하여 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 표현한다.
• 확장의 기저 함수로 다중 레전드르 다항식 급수와 다중 삼각 푸리에 급수 둘 다를 적용한다.
• 두 유형의 급수에 대해 힐버트 공간 노름에서 확장의 평균 제곱수 수렴성을 증명한다.
• 기존의 다중 한계 접근 방식과는 달리 근사 과정에서 단일 한계 전이를 활용하여 계산 프레임워크를 단순화한다.
• 직교 기저 함수를 사용하여 피적분 함수의 푸리에 계수의 명시적 표현을 유도한다.
• 직교 전개의 성질을 통해 $L_2$ 공간에서 이론적 수렴 보장을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 1에서 4까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분은 일반화된 다중 푸리에 급수를 통해 효과적으로 전개될 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법은 레전드르 급수와 삼각 급수 양쪽 모두에 대해 $L_2([t, T]^k)$에서 평균 제곱수 수렴을 달성하는가?
• RQ3 근사 과정에서의 단일 한계 전이 방식은 기존의 다중 한계 접근 방식에 비해 계산 효율성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 직교 기저 함수는 확장의 수렴성과 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 방법은 다차원 이토 SDE에 대해 비순환적인 노이즈를 가진 수치적 해법에 어느 정도 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 레전드르 급수와 삼각 푸리에 급수 양쪽 모두에 대해, 차수 1에서 4까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분의 전개는 $L_2([t, T]^k)$에서 평균 제곱수 수렴성을 보인다.
• 이 방법은 기존의 다중 전이 방법과는 달리 단 한 번의 한계 전이만을 요구하여 수치적 구현이 상당히 단순화된다.
• 다중 레전드르 급수와 다중 삼각 푸리에 급수 전개에 대해 평균 제곱수 수렴이 엄밀히 증명되었다.
• 이 접근법은 다차원 비순환적인 노이즈를 가진 이토 확률미분방정식의 효율적 수치적 통합을 가능하게 한다.
• 일반화된 다중 푸리에 급수의 사용은 고차수 확률적 적분의 강력하고 안정적인 근사화를 보장한다.
• 이론적 프레임워크는 수치 응용에 대해 보장된 수렴 성질을 갖는 실용적인 계산을 지원한다.