[논문 리뷰] Expansion of Iterated Stochastic Integrals with Respect to Martingale Poisson Measures and with Respect to Martingales Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 19.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 30인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 임의의 차수의 반복 이토 스토케스틱 적분을 마당글 포아송 측도 및 일반 마딩글에 대해 일반화된 방법으로 전개한다. 이 접근법은 평균 제곱수 수렴을 보장하며, 직교 체계(베셀 함수 포함)를 통한 명시적 전개를 제공하여 확률 미분 방정식 내에서 복잡한 스토케스틱 적분의 효율적 수치 근사를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider some versions and generalizations of an approach to the expansion of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized multiple Fourier series. Expansions of iterated stochastic integrals with respect to martingale Poisson measures and with respect to martingales were obtained. For the iterated stochastic integrals with respect to martingales we have proved theorem, which is a generalization of the expansion for iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity based on generalized multiple Fourier series. Also we consider a modification of the mentioned expansion of iterated Ito stochastic integrals for the case of complete orthonormal with weight $r(t_1)\ldots r(t_k)\ge 0$ systems of functions in the space $L_2([t, T]^k)$. Mean-square convergence of the considered expansions is proved. An example of the expansion of iterated (double) stochastic integrals with respect to martingales using the system of Bessel functions is considered.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차수의 반복 이토 스토케스틱 적분을 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 전개하는 일반적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 이 전개 방법을 마딩글 포아송 측도 및 일반 마딩글에 대한 스토케스틱 적분으로 확장하기 위해.
• 중량 함수 $r(t_1)\cdots r(t_k) \geq 0$를 갖는 $L_2([t,T]^k)$ 내 임의의 완전 직교 체계에 대해 전개의 평균 제곱수 수렴을 증명하기 위해.
• 베셀 함수를 직교 체계로 사용한 구체적 예시를 통해 실용적 적용 가능성을 보여주기 위해.
• 독립적인 표준 정규 난수를 사용하여 반복 스토케스틱 적분의 계산 가능하고 실용적인 표현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 직교 체계를 사용하여 $L_2([t,T]^k)$ 내에서 일반화된 다중 푸리에 급수 전개를 수행한다.
• 기존 결과를 일반화하여 임의의 완전 직교 체계, 특히 중량 함수 $r(t_1)\cdots r(t_k) \geq 0$를 갖는 체계까지 포함하여 평균 제곱수 근사가 가능하도록 한다.
• 전개는 반복 스토케스틱 적분을 푸리에 계수와 독립적인 표준 정규 난수를 포함하는 이중 합의 극한으로 표현한다.
• 마딩글 포아송 측도의 경우, 관련 마딩글 증분의 스펙트럼 표현을 통해 전개가 유도된다.
• 이 방법은 $L_2([0,T])$ 내에서 완전 직교 체계로 베셀 함수를 사용하여 검증되며, $\zeta_j^{(i)} = \int_0^T \Psi_j(\tau) dM_\tau^{(i)}$ 형태의 명시적 표현을 이끌어낸다.
• 이 방법은 l.i.m. (평균에 대한 극한) 표기로 수식화된 평균 제곱수 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 차수의 반복 이토 스토케스틱 적분은 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 보장된 평균 제곱수 수렴을 갖는 전개로 가능할 수 있는가?
• RQ2 이 전개 방법은 마딩글 포아송 측도에 대한 스토케스틱 적분으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 중량 함수를 갖는 완전 직교 체계가 푸리에 기반 전개의 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 방법은 특정 체계(예: 베셀 함수)에 적용될 수 있으며, 그 결과로 스토케스틱 적분의 표현은 어떻게 되는가?
• RQ5 동일한 적분에 대해 다양한 공식화 방식에서 유도된 푸리에 계수 $C_{j_2j_1}$ 와 $\tilde{C}_{j_2j_1}$ 는 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 마딩글에 대한 임의의 차수의 반복 이토 스토케스틱 적분에 대해 일반화된 다중 푸리에 급수 전개의 평균 제곱수 수렴을 증명한다.
• 중량 함수 $r(t_1)\cdots r(t_k) \geq 0$를 갖는 $L_2([t,T]^k)$ 내 임의의 완전 직교 체계에 대해 전개의 일반화가 확립되어, 이 방법의 적용 범위가 넓어진다.
• 베셀 함수의 경우, 전개는 이중 스토케스틱 적분 $\int_0^T \int_0^s dM_\tau^{(1)} dM_s^{(2)}$ 를 $\tilde{C}_{j_2j_1} \zeta_{j_1}^{(1)} \zeta_{j_2}^{(2)}$ 를 포함하는 합의 극한으로 표현하며, $\zeta_j^{(i)}$ 는 독립적인 표준 정규 변수이다.
• 다른 공식화 방식으로 유도된 푸리에 계수 $C_{j_2j_1}$ 와 $\tilde{C}_{j_2j_1}$ 는 동일함이 입증되어 방법의 일관성이 확인된다.
• 이 방법은 기존 접근법의 한계를 극복하고 표준 정규 난수만을 사용하여 복잡한 반복 스토케스틱 적분의 효과적인 수치 근사를 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 마딩글 포아송 측도에 대한 적분으로 확장되어, 점 과정 및 점프-디퓨전 모델까지의 적용 범위를 넓힌다.