[논문 리뷰] Extremal $H$-free planar graphs

Yongxin Lan, Yongtang Shi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 04.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주어진 그래프 $H$ 를 부분그래프로 포함하지 않는 극단적 평면 그래프를 조사하며, $n$ 개의 정점에서 $H$-free 평면 그래프의 간선 수를 최대화하는 데 초점을 맞춘다. $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n-6$ 가 모든 $n \geq |H|$ 에 대해 성립하는 충분조건을 규명하여, 휠과 스타에 대해 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 를 완전히 결정하고, $(t,r)$-팬에 대해 날카운 bounds 를 제공하며, 평면 3-정규 그래프의 경우는 여전히 열려 있는 문제로 남아 있다.

ABSTRACT

Given a graph $H$, a graph is $H$-free if it does not contain $H$ as a subgraph. We continue to study the topic of "extremal" planar graphs, that is, how many edges can an $H$-free planar graph on $n$ vertices have? We define $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$ to be the maximum number of edges in an $H$-free planar graph on $n $ vertices. We first obtain several sufficient conditions on $H$ which yield $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)=3n-6$ for all $n\ge |V(H)|$. We discover that the chromatic number of $H$ does not play a role, as in the celebrated Erdős-Stone Theorem. We then completely determine $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$ when $H$ is a wheel or a star. Finally, we examine the case when $H$ is a $(t, r)$-fan, that is, $H$ is isomorphic to $K_1+tK_{r-1}$, where $t\ge2$ and $r\ge 3$ are integers. However, determining $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$, when $H$ is a planar subcubic graph, remains wide open.

연구 동기 및 목표

• $n$ 개의 정점에서 $H$-free 평면 그래프의 최대 간선 수를 나타내는 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 를 결정하는 것.
• $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n - 6$ 가 모든 $n \geq |H|$ 에 대해 성립하도록 하는 그래프 $H$ 에 대한 충분조건을 규명하는 것.
• $H$ 가 휠 또는 스타일일 경우 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 를 완전히 결정하는 것.
• $H$ 가 $(t,r)$-팬, 즉 $K_1 + tK_{r-1}$ 이고 $t \geq 2$, $r \geq 3$ 일 때의 극단적 함수를 분석하는 것.
• 특히 평면 3-정규 그래프에 대한 열린 문제를 규명하는 것.

제안 방법

• Euler의 공식과 면 수 계산을 이용하여 $H$-free 평면 그래프의 간선 수에 대한 상한을 유도하는 것.
• $H$-free 조건 하에서 정점의 차수와 면의 인cidences, 특히 3-면에 대한 분석.
• $H$-free 조건 하에서 다양한 차수의 정점에 인접한 3-면의 수를 제한하기 위해 구조적 그래프 이론을 적용하는 것.
• 특정 $H$ 에 대해 날카운 하한을 확보하기 위해 극단적 그래프(예: $G_k$)의 재귀적 구성.
• $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,K_1 + P_t)$ 에 대한 상한을 유도하기 위해 귀납법 기반 증명 기법을 사용하는 것 (단, $t \in \{4,5,6\}$).
• $G$ 가 $(K_1 + 3K_2)$-free 이므로 고차수 정점에 인접한 3-면의 수를 제한할 수 있음을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $H$ 에 어떤 조건이 성립하면 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n - 6$ 가 모든 $n \geq |H|$ 에 대해 성립하는가?
• RQ2 $H$ 가 휠 또는 스타일일 경우 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ3 $H = K_1 + tK_{r-1}$, 즉 $(t,r)$-팬일 경우의 극단적 함수는 무엇인가? ($t \geq 2$, $r \geq 3$)
• RQ4 $H$ 가 평면 3-정규 그래프일 경우 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 에 대해 날카운 bounds 를 확립할 수 있는가?
• RQ5 $H$ 의 색수는 이 설정에서 극단적 함수에 영향을 주지 않지만, $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $H$-free 평면 그래프에서 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n - 6$ 는 $H$ 가 $K_4$-free 이고, 차수 또는 색수 조건 중 하나를 만족할 경우 성립한다. 예를 들어 $\chi(H) = 4$ 이고 $n \geq |H| + 2$ 일 경우.
• $H$ 가 휠 또는 스타일일 경우 극단적 함수 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 는 정확히 결정되었으며, 정확한 공식이 유도되었다.
• $t \geq 2$, $r \geq 3$ 인 $(t,r)$-팬 $H$ 에 대해 논문은 날카운 상한과 하한을 제공하여 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = \Theta(n)$ 이라고 보여주었다.
• $n = 24(k+1)$ 개의 정점과 $67n/24 - 4$ 개의 간선을 가진 $G_k$ 의 구성은 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,K_1 + 3K_2)$ 의 하한을 $n$ 이 24의 배수일 때 향상시킬 수 있음을 보여주었다.
• $t \in \{4,5,6\}$ 일 때 귀납법과 면 수 계산을 통해 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,K_1 + P_t) \leq \frac{13(t-1)n}{4t-2} - \frac{12(t-1)}{2t-1}$ 이라는 상한이 확립되었다.
• 평면 3-정규 그래프 $H$ 에 대해 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 를 결정하는 문제는 여전히 열려 있다.