[논문 리뷰] Extremal Theta-free planar graphs

Yongxin Lan, Yongtang Shi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 05.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\theta_k$-free 평면 그래프에서 간선 수의 최대값에 대해 날카운 상계를 결정하며, $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_4) \leq 12(n-2)/5$, $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_5) \leq 5(n-2)/2$, $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$를 증명한다. 이 모든 상계는 무한히 많은 $n$에 대해 정확하게 달성된다. 결과는 면 수 계산과 옐러의 공식을 통해 확립되며, 등호는 $K_5^-$와 6면으로 구성된 특정 최적 평면 그래프에서 성립한다.

ABSTRACT

Given a family $\mathcal{F}$, a graph is $\mathcal{F}$-free if it does not contain any graph in $\mathcal{F}$ as a subgraph. We study the topic of "extremal" planar graphs initiated by Dowden [J. Graph Theory 83 (2016) 213--230], that is, how many edges can an $\mathcal{F}$-free planar graph on $n$ vertices have? We define $ex_{_\mathcal{P}}(n,\mathcal{F})$ to be the maximum number of edges in an $\mathcal{F}$-free planar graph on $n $ vertices. Dowden obtained the tight bounds $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_4)\leq15(n-2)/7$ for all $n\geq4$ and $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_5)\leq(12n-33)/5$ for all $n\geq11$. In this paper, we continue to promote the idea of determining $ex_{_\mathcal{P}}(n,\mathcal{F})$ for certain classes $\mathcal{F}$. Let $Θ_k$ denote the family of Theta graphs on $k\ge4$ vertices, that is, graphs obtained from a cycle $C_k$ by adding an additional edge joining two non-consecutive vertices. The study of $ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_4)$ was suggested by Dowden. We show that $ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_4)\leq12(n-2)/5$ for all $n\geq 4$, $ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_5)\leq5(n-2)/2$ for all $n\ge5$, and then demonstrate that these bounds are tight, in the sense that there are infinitely many values of $n$ for which they are attained exactly. We also prove that $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_6)\le ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_6)\le 18(n-2)/7$ for all $n\ge6$.

연구 동기 및 목표

• 4 이상인 $k$에 대해 $\Theta_k$-free 평면 그래프의 최적 구조를 규명하는 열린 문제를 다루며, 도웬든의 평면 투란 수 이론에 기초한 연구를 확장한다.
• Theta 그래프의 가족 $\mathcal{F}$-free 평면 그래프에서 간선 수의 최대값에 대해 날카운 상계를 수립한다.
• 유도된 상계가 무한히 많은 그래프에서 등호가 성립함을 보여주어 渐近적으로 날카로움을 입증한다.
• 평면 투란 수와 평면 반-람지 수 사이의 관계를 탐색하며, 특히 $\mathcal{H} = \{H-e \mid e \in E(H)\}$에 대해 $1 + \text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\mathcal{H}) \leq \text{ar}_{\mathcal{P}}(n,H) \leq \text{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$라는 관계를 통해 연결한다.
• 특히 $K_5^-$와 6면으로 구성된 $\Theta_6$-free 그래프의 최적 그래프의 구조적 특성화를 제공한다.

제안 방법

• 평면 그래프 $G$에서 정점, 간선, 면의 수를 연결하기 위해 옐러의 공식 $n - 2 \geq e(G) - f$를 적용한다.
• 면 수 계산 기법을 사용하여 인접한 면들 사이의 간선 분포를 분석함으로써 $i$-면($f_i$)의 수를 제한한다. 특히 $E_{i,j}$, 즉 $i$-면과 $j$-면이 공유하는 간선의 집합을 고려한다.
• $\Theta_k$-free 그래프가 특정 면 인접 패턴(예: $\Theta_6$-freeness의 경우 3면이 5면과 인접하는 것)을 포함할 수 없음을 이용하여 부등식을 수립한다.
• $K_5^-$-free 그래프가 특정 하위구조(그림 4b)를 포함할 수 없음을 이용하여 3면의 수와 그 인접성에 제약을 두어 더 날카운 상계를 도출한다.
• 최적 그래프에서 $K_5^-$ 부분그래프의 정점을 제거하여 유도된 그래프 $G'$를 구성함으로써 나머지 면의 구조를 분석하고, 등호가 성립할 경우 모순이 발생함을 보인다.
• 면과 간선 수 계산을 도함수 제약 조건과 결합하여, 최소 차수 $\delta(G') = 2$임을 보이고, 이러한 그래프는 반드시 $\Theta_6$ 부분그래프를 포함하므로 $\Theta_6$-freeness와 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 수 $n$인 $\Theta_4$-free 평면 그래프에서 간선 수의 최대값은 얼마이며, 이 상계는 날카로운가?
• RQ2 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_5)$의 渐近적 행동은 어떻게 되며, 어떤 $n$에서 이 상계가 달성되는가?
• RQ3 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6)$에 대한 날카운 상계는 무엇이며, 이 상계는 무한히 많은 $n$에서 달성될 수 있는가?
• RQ4 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$ 상계를 개선할 수 있는가? $K_5^-$-free 그래프에서 등호가 성립하지 않는 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ5 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6)$는 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6)$로 상한이 둔다는가? 등호는 어떤 $n$에서 성립하는가?

주요 결과

• $\Theta_4$-free 평면 그래프에서 정점 수 $n$에 대해 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_4) \leq 12(n-2)/5$이며, 이 상계는 모든 $n \geq 4$에서 성립하고 무한히 많은 $n$에서 등호가 성립한다.
• $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_5) \leq 5(n-2)/2$는 모든 $n \geq 5$에서 성립하며, 무한히 많은 $n$에서 등호가 성립한다.
• $\Theta_6$-free 평면 그래프에 대해 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$는 모든 $n \geq 6$에서 성립하며, 이 상계는 $n = 9$일 때 등호가 성립한다.
• $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$에서 등호가 성립하려면 최적 그래프가 $K_5^-$와 6면으로만 이루어져야 하며, 공유하는 간선이 없어야 하지만, 이러한 그래프는 반드시 $\Theta_6$ 부분그래프를 포함하므로 등호는 달성될 수 없다.
• $C_6$-free 그래프는 모두 $\Theta_6$-free 이므로 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6) \leq 18(n-2)/7$이며, 이 상계는 $n = 9$일 때 등호가 성립한다.
• $18(n-2)/7$ 간선을 갖는 최적의 $\Theta_6$-free 그래프는 최소 차수 2를 갖는 유도된 그래프 $G'$가 필요하며, 3면과 6면이 번갈아가며 존재해야 하지만, 이러한 그래프는 반드시 $\Theta_6$ 부분그래프를 포함하므로 $\Theta_6$-freeness와 모순된다.