[논문 리뷰] F-index of graphs based on new operations related to the join of graphs

Prosanta Sarkar, Nilanjan De외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 19.

Graph theory and applications참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 그래프의 결합 기반으로 새로운 그래프 연산인 정점 및 간선 $Φ$-조인 그래프($Φ \in \{S, R, Q, T\}$)에 대한 F-지수(정점 차수의 세제곱 합)에 대한 폐쇄형 공식을 유도한다. 기존의 전통적 위상적 지표인 $F(G)$, $M_1(G)$, $HM(G)$, $ReZM(G)$ 등을 바탕으로 정확한 표현식을 수립하여, $P_n \underline{\vee}_T P_m$ 및 $C_n \underline{\vee}_T C_m$와 같은 복잡한 그래프 계열의 F-지수를 정밀하게 계산할 수 있게 한다. 주요 기여는 분할된 조인 그래프에 대한 F-지수 계산을 위한 통합 분석 프레임워크를 제공하는 데 있다.

ABSTRACT

The forgotten topological index or F-index of a graph is defined as the sum of degree cube of all the vertices of the graph. This index was introduced by Gutman and Trinajestić more than 40 years ago. In this paper, we derive F-index of new operations of subdivision graphs related to the graphs join.

연구 동기 및 목표

• 그래프의 결합 기반으로 새로운 그래프 연산을 적용하여 잊혀진 위상적 지표(F-지수)의 적용 범위를 확장한다.
• 새로운 그래프 연산인 정점 $Φ$-조인 및 간선 $Φ$-조인을 정의하고 체계화한다. 여기서 $Φ$는 분할 기반 변환(S, R, Q, T)을 나타낸다.
• 기존 그래프의 기본 위상적 지표를 바탕으로 이러한 새로운 그래프 연산의 F-지수에 대한 폐쇄형 분석 표현식을 도출한다.
• 경로($P_n$) 및 순환($C_n$)과 같은 표준 그래프 계열에 대해 이러한 연산 하에서 명시적인 F-지수 공식을 제공함으로써 실용적인 QSAR/QSPR 응용을 가능하게 한다.

제안 방법

• 분할된 그래프($\Phi(G)$)와 두 번째 그래프 $H$를 완전한 정점 연결을 통해 조합함으로써 정점 $Φ$-조인 및 간선 $Φ$-조인 연산을 도입한다.
• 네 가지 분할 연산을 정의한다: $S(G)$ (경로 삽입), $R(G)$ (정점 연결), $Q(G)$ (인접한 새로운 정점 연결), $T(G)$ (모든 연결을 포함한 전체 그래프).
• 결과로 생성된 그래프의 각 정점의 차수를 분석함으로써 F-지수를 계산한다. 원래 정점, 삽입된 정점($I(G)$), 그리고 두 번째 그래프와의 연결 기여를 구분하여 고려한다.
• 차수 공식을 적용한다: $v \in V(G_1)$에 대해 $d_{G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2}(v) = d_{G_1}(v) + n_2$; $v \in I(G_1)$에 대해 $d_{G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2}(v) = d_{G_1}(u) + d_{G_1}(v) + n_2$ (간선 $Φ$-조인의 경우).
• 기존의 위상적 지표를 활용한다: $F(G)$, $M_1(G)$ (첫 번째 자그레브 지수), $HM(G)$ (초자그레브 지수), $ReZM(G)$ (다시정의된 자그레브 지수), 그리고 본 논문에서 새로 정의한 $M_4(G)$ 지수.
• 이항 전개를 활용하여 F-지수 합을 전개하고, 표준 지수 형태로 항을 재구성함으로써 간결하고 폐쇄형 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 $Φ$-조인 그래프 $G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2$의 F-지수는 $\Phi \in \{S, R, Q, T\}$ 일 때 어떻게 되는가?
• RQ2 간선 $Φ$-조인 그래프 $G_1 \underline{\vee}_\Phi G_2$의 F-지수는 $G_1$ 및 $G_2$의 위상적 지표에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 이러한 새로운 연산 하에서 경로($P_n$) 및 순환($C_n$)과 같은 표준 그래프 계열에 대해 명시적인 F-지수 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 이러한 그래프 연산의 맥락에서 F-지수와 다른 위상적 지표($M_1$, $HM$, $ReZM$) 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 정점 $Φ$-조인 $G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2$의 F-지수는 $F(G_1)$, $F(G_2)$, $M_1(G_1)$, $M_1(G_2)$, $HM(G_1)$, $ReZM(G_1)$, $m_1 n_2^3$ 의 함수로 유도되며, 계수는 $Φ$에 따라 달라진다.
• 간선 $T$-조인의 경우, F-지수는 $F(G_1 \underline{\vee}_T G_2) = 8F(G_1) + F(G_2) + 3n_2^2 M_1(G_1) + 3m_1 M_1(G_2) + M_4(G_1) + 3n_2 HM(G_1) + 3ReZM(G_1) + m_1^2(6m_2 + m_1 n_2) + m_1 n_2^3$ 로 주어지며, 여기서 $M_4(G_1)$ 는 새로 정의된 지수이다.
• $P_n \underline{\vee}_T P_m$ 에 대해 명시적인 공식을 도출하여 $F(P_n \underline{\vee}_T P_m) = m^3(n-1) + 3m^2(4n-6) + m(n-1)^3 + 6(m-1)(n-1)^2 + 60mn - 94m + 110n - 246$ 를 얻었으며, 조건은 $m \geq 2, n \geq 3$ 이다.
• $P_n \underline{\vee}_T C_m$ 에 대해 F-지수는 $F(P_n \underline{\vee}_T C_m) = m^3(n-1) + 3m^2(4n-6) + m(n-1)^3 + 6m(n-1)^2 + 60mn - 94m + 128n - 250$ 이며, 조건은 $m,n \geq 3$ 이다.
• $C_n \underline{\vee}_T C_m$ 에 대해 F-지수는 $F(C_n \underline{\vee}_T C_m) = m^3 n + 12m^2 n + m n^2 (n+6) + 60mn + 8m + 128n$ 이며, 조건은 $m,n \geq 3$ 이다.
• $C_n \underline{\vee}_T P_m$ 에 대해 F-지수는 $F(C_n \underline{\vee}_T P_m) = m^3 n + 12m^2 n + m n^3 + 6n^2(m-1) + 60mn + 8m + 110n - 14$ 이며, 조건은 $m,n \geq 3$ 이다.