[논문 리뷰] Fast IMEX Time Integration of Nonlinear Stiff Fractional Differential Equations

Yongtao Zhou, Jorge L. Suzuki외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 09.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 63인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분수계수 α ∈ (0,1]를 가진 강한 비선형 분수차분미분방정식(FDEs)에 대해 첫째 및 둘째 순서의 암시-명시(IMEX) 시간 적분 방법을 제안한다. 이 방법들은 초기 특이성을 다루기 위해 분수차분아담스-몰턴 방법과 루비히 유사 보정을 조합하고, 빠른 토플리츠 해법기를 사용하여 O(N log N) 복잡도를 달성한다. 이 방법들은 전역적으로 첫째 및 둘째 순서 정확도를 보이며, 특히 작은 α 값에서 선형 안정성 영역이 향상된다.

ABSTRACT

Efficient long-time integration of nonlinear fractional differential equations is significantly challenging due to the integro-differential nature of the fractional operators. In addition, the inherent non-smoothness introduced by the inverse power-law kernels deteriorates the accuracy and efficiency of many existing numerical methods. We develop two efficient first- and second-order implicit-explicit (IMEX) methods for accurate time-integration of stiff/nonlinear fractional differential equations with fractional order $α\in (0,1]$ and prove their convergence and linear stability properties. The developed methods are based on a linear multi-step fractional Adams-Moulton method (FAMM), followed by the extrapolation of the nonlinear force terms. In order to handle the singularities nearby the initial time, we employ Lubich-like corrections to the resulting fractional operators. The obtained linear stability regions of the developed IMEX methods are larger than existing IMEX methods in the literature. Furthermore, the size of the stability regions increase with the decrease of fractional order values, which is suitable for stiff problems. We also rewrite the resulting IMEX methods in the language of nonlinear Toeplitz systems, where we employ a fast inversion scheme to achieve a computational complexity of $\mathcal{O}(N \log N)$, where $N$ denotes the number of time-steps. Our computational results demonstrate that the developed schemes can achieve global first- and second-order accuracy for highly-oscillatory stiff/nonlinear problems with singularities.

연구 동기 및 목표

• 장기간에 걸친 정확한 강한 비선형 분수차분미분방정식의 적분 문제를 해결하기 위해.
• 분수 미분 연산자에 포함된 역거듭제곱법 커널으로 인해 비연속적인 해가 발생하는 상황에서도 높은 정확도를 유지하는 효율적인 시간 적분 방법을 개발하기 위해.
• 비정상 확산 및 점탄성 모델에서 흔한 작은 분수계수 α ∈ (0,1]에 대해 기존 IMEX 방법의 선형 안정성 영역을 향상시키기 위해.
• 기존 밀도 있는 선형 시스템을 해결하는 데 소요되는 계산 비용을 O(N²)에서 O(N log N)로 줄이기 위해, 방법을 비선형 토플리츠 시스템으로 재구성하고 빠른 역행렬 기법을 적용하기 위해.
• 일반적인 비선형성과 특이성 하에서 제안된 첫째 및 둘째 순서 IMEX 방법의 수렴성 및 안정성 증명을 수립하기 위해.

제안 방법

• 강한(암시적) 부분의 기초로 선형 다단계 분수차분아담스-몰턴 방법(FAMM)을 사용한다.
• 비선형 힘 항은 각 단계에서 비선형 시스템을 풀지 않기 위해 외삽을 사용하여 명시적으로 처리하여 정확도를 유지한다.
• 시간 t=0 근처에서의 특이 행동을 포착하기 위해 분수 미분 연산자에 루비히 유사 보정 항을 적용하여 비연속적인 해에 대한 정확도를 향상시킨다.
• 결과적으로 생성된 선형 시스템은 비선형 토플리츠 시스템으로 재구성되어 FFT 기반 해법기를 통해 빠른 행렬-벡터 곱셈을 가능하게 한다.
• 토플리츠 구조를 활용하고 빠른 역행렬 알고리즘을 적용하여 O(N log N) 계산 복잡도를 달성한다.
• 이산 그론월레 부등식과 보정 가중치의 경계를 사용하여 안정성과 수렴성을 증명하며, 첫째 및 둘째 순서 방법에 대해 엄밀한 오차 추정을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 특이성이 존재하는 강한 비선형 FDEs에 대해, 첫째 및 둘째 순서 정확도를 유지하면서도 IMEX 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 특히 작은 α 값에 대해 FDEs의 IMEX 방법의 선형 안정성 영역을 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 결과로 발생하는 밀도 있는 선형 시스템을 해결하는 데 드는 계산 비용을 정확도를 희생시키지 않고 O(N²)에서 O(N log N)로 줄일 수 있는가?
• RQ4 루비히 유사 보정 항이 비선형 FDEs의 IMEX 방법의 수렴 속도와 안정성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 기존 방법과 비교하여 제안된 방법은 고주기적, 강한 비선형성 및 비연속적인 FDE 문제에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 제안된 첫째 및 둘째 순서 IMEX 방법은 특이한 초기 행동을 보이는 강한 비선형 FDEs에 대해 전역적으로 첫째 및 둘째 순서 정확도를 달성한다.
• 이 방법들의 선형 안정성 영역은 기존 IMEX 방법보다 더 넓으며, 분수계수 α가 작아질수록 커지며, 이는 강한 문제에 유리하다.
• 기존 방법을 비선형 토플리츠 시스템으로 재구성하고 빠른 역행렬 기법을 적용함으로써 계산 복잡도가 O(N log N)로 감소한다.
• 초기 특이성을 다루기 위해 루비히 유사 보정 항을 통합함으로써 고주기적 문제에서도 높은 정확도를 유지한다.
• 일반적인 해의 정규성과 보정 항의 차수에 따라 오차 경계가 결정되는 엄밀한 수렴성 및 안정성 증명이 이루어졌으며, 이는 이론적 결과를 뒷받침한다.
• 수치 실험 결과는 이론적 발견을 확인하며, α ∈ (0,1] 범위와 다양한 비선형성에서 뛰어난 안정성과 성능을 보였다.