[논문 리뷰] Fertility, Strong Fertility, and Postorder Wilf Equivalence

Colin Defant|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 05.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 39인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 웨스트의 스택 정렬 맵의 맥락에서 비옥도, 강한 비옥도, 후위순회 위프 등가성이라는 세 가지 새로운 위프 등가성 변형을 도입한다. 유효한 후크 구성에 대한 슬라이딩 연산자와 자연스러운 분해를 개발함으로써, 저자는 명시적인 전단사 사상들을 구성하여 이러한 등가성들을 보이는 무한한 수의 순열 클래스 가족을 도출하며, 여러 통계의 동시 등분포를 이끌어내고 이전의 비옥도 및 부울-카탈란 수에 관한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We introduce "fertility Wilf equivalence," "strong fertility Wilf equivalence," and "postorder Wilf equivalence," three variants of Wilf equivalence for permutation classes that formalize some phenomena that have appeared in the study of West's stack-sorting map. We introduce "sliding operators" and show that they induce useful bijections among sets of valid hook configurations. Combining these maps with natural decompositions of valid hook configurations, we give infinitely many examples of fertility, strong fertility, and postorder Wilf equivalences. As a consequence, we obtain infinitely many joint equidistribution results concerning many permutation statistics. In one very special case, we reprove and extensively generalize a result of Bouvel and Guibert. Another case reproves and generalizes a result of the current author. A separate very special case proves and generalizes a conjecture of the current author concerning stack-sorting preimages and the Boolean-Catalan numbers. We end with two open questions.

연구 동기 및 목표

• 웨스트의 스택 정렬 맵 연구에서 나타나는 비단순 위프 등가성의 형식화 및 일반화.
• 순열 클래스 내에서 비옥도, 강한 비옥도, 후위순회 위프 등가성이라는 세 가지 새로운 등가관계의 도입 및 분석.
• 특히 유효한 후크 구성에 대한 슬라이딩 연산자와 같은 조합적 도구를 개발하여 유형을 유지하는 명시적 전단사 사상의 구성.
• 이러한 새로운 등가관계에 대해 등가인 무한한 순열 클래스 가족을 확립하여 순열 통계의 동시 등분포를 이끌어내는 것.
• 기존의 결과, 특히 부울-카탈란 수와 스택 정렬 맵에 대한 역상에 관한 결과를 재증명하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 유효한 후크 구성(VHCs)에 작용하는 '슬라이딩 연산자'를 도입하여, 그 유형을 유지하면서 VHC 집합 간의 전단사 사상을 가능하게 한다.
• 유효한 후크 구성의 자연스러운 분해를 사용하여 스택 정렬 맵에 대한 역상의 구조를 순열 통계와 연결한다.
• 스택 정렬 맵 $s$에 대한 역상 집합의 크기의 동일성을 비옥도 위프 등가성으로 정의한다.
• 스택 정렬 맵에 대한 역상 클래스의 VHC 집합 간에 유형을 유지하는 전단사 사상의 존재를 통해 강한 비옥도 위프 등가성을 정의한다.
• 감소 평면 트리의 후위순회를 사용하여 후위순회 위프 등가성을 정의하며, 이를 스택 정렬 맵의 동역학과 연결한다.
• 이전 연구에서 개발된 유효한 후크 구성 이론을 활용하여 비옥도를 계산하고 역상의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비옥도 위프 등가이지만 강한 비옥도 위프 등가가 아닌 무한한 수의 순열 클래스 가족이 존재하는가?
• RQ2 후위순회 위프 등가성은 강한 비옥도 위프 등가성보다 엄격히 더 약한가?
• RQ3 이진 후위순회 위프 등가성과 후위순회 위프 등가성은 일치하는가, 아니면 엄격한 포함 관계가 존재하는가?
• RQ4 스택 정렬 역상 $\operatorname{Av}_n(132,3412)$는 세어질 수 있으며, 부울-카탈란 수와 관련이 있는가?
• RQ5 임의의 순열 클래스의 비옥도를 유형 기반의 전단사 사상을 사용하여 일반적으로 계산할 수 있는 방법이 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 유효한 후크 구성의 슬라이딩 연산자와 분해를 통해 비옥도, 강한 비옥도, 후위순회 위프 등가성의 무한한 예를 구성한다.
• 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $|s^{-1}(\operatorname{Av}_n(132,3412))| = |s^{-1}(\operatorname{Av}_n(231,1423))| = |s^{-1}(\operatorname{Av}_n(312,1342))|$ 임을 증명하여 새로운 등식 체인을 확립한다.
• 시리즈 $\sum_{n \geq 1} |s^{-1}(\operatorname{Av}_n(132,3412))| x^n$ 의 생성함수는 $\frac{1 - 2x - \sqrt{1 - 4x - 4x^2}}{4x}$ 로 주어지며, 이는 부울-카탈란 수로 알려져 있다.
• 저자는 비옥도 위프 등가성이 강한 비옥도 위프 등가성을 함의하지 않는다는 반례를 제시하여 이러한 등가관계 간의 엄격한 계층성을 입증한다.
• 이진 후위순회 위프 등가성이 후위순회 위프 등가성을 함의하지 않는다는 반례를 제시하여 두 관계 간의 엄격한 포함 관계를 확인한다.
• 논문은 부벨과 기베르의 이전 결과와 저자의 이전 연구에서 스택 정렬 역상과 부울-카탈란 수에 관해 증명된 결과들을 재증명하고 일반화한다.