[논문 리뷰] Fibrations and lax limits of $(\infty,2)$-categories

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\omega$-인덱스가 붙은 다이어그램의 네 가지 변량 유형에 대응하는 네 가지 유형의 피브레이션—내부/외부 카르탕 및 코카르탕—을 사용하여 $(\infty,2)$-카테고리에서 2-(코)극한에 대한 종합적인 이론을 수립한다. 이 피브레이션들은 릿지, 가중, 그리고 페시브 극한을 표현하며, 이러한 2-(코)극한은 표시된 단순형 집합에 대해 텐서링된 모델 카테고리에서 가중 호모토피 극한으로 계산될 수 있음을 보여주고, 코(finality) 조건이 극한의 유일성을 보장함을 밝힌다.

ABSTRACT

We study four types of (co)cartesian fibrations of $\infty$-bicategories over a given base $\mathcal{B}$, and prove that they encode the four variance flavors of $\mathcal{B}$-indexed diagrams of $\infty$-categories. We then use this machinery to set up a general theory of 2-(co)limits for diagrams valued in an $\infty$-bicategory, capable of expressing lax, weighted and pseudo limits. When the $\infty$-bicategory at hand arises from a model category tensored over marked simplicial sets, we show that this notion of 2-(co)limit can be calculated as a suitable form of a weighted homotopy limit on the model categorical level, thus showing in particular the existence of these 2-(co)limits in a wide range of examples. We finish by discussing a notion of cofinality appropriate to this setting and use it to deduce the unicity of 2-(co)limits, once exist.

연구 동기 및 목표

• ∞-카테고리 값을 갖는 다이어그램의 네 가지 변량 유형을 표현하는 네 가지 유형의 피브레이션을 특정하여, 그로텐디크-루리 상응관계를 $(\infty,2)$-카테고리로 확장한다.
• 라그, 가중, 그리고 페시브 극한을 모두 포괄하는 $\infty$-2-카테고리에서의 2-(코)극한에 대한 일반 이론을 개발한다.
• 이러한 2-(코)극한이 표시된 단순형 집합에 대해 텐서링된 모델 카테고리에서 가중 호모토피 극한으로 계산될 수 있음을 보인다.
• $(\infty,2)$-카테고리적 맥락에서의 코(finality) 개념을 도입하고, 이러한 2-(코)극한이 존재할 경우 그 유일성을 증명한다.

제안 방법

• ∞-2-카테고리 $\beta$ 위에 내부 코카르탕, 외부 카르탕, 외부 코카르탕, 내부 카르탕 피브레이션 네 가지 유형을 도입하여, 변량 $\beta$, $\beta^{\mathrm{op}}$, $\beta^{\mathrm{co}}$, 및 $\beta^{\mathrm{coop}}$를 갖는 다이어그램을 표현한다.
• 표시된 척도가 부여된 단순형 집합에 대한 스트레이트닝-언스트레이트닝 기계를 활용하여 이러한 피브레이션을 ${\mathcal{C}\mspace{-2.0mu}\mathit{at}}_{\infty}$ 에 값이 부여된 함숫수와 연결한다.
• 각 변량 유형에 대해 일반적인 피브레이션을 구성함으로써, $\infty$-2-카테고리의 콘의 $\infty$-2-카테고리 내에서의 일반적인 콘을 통한 2-(코)극한의 정의를 가능하게 한다.
• 코(finality) 조건을 적용하여, 2-(코)극한 콘을 콘의 $\infty$-2-카테고리 내에서의 일반적인 객체로 특성화하며, 표시된 변이 카르탕 구조를 표현한다.
• 척도가 부여된 단순형 집합의 이중 카테고리적 모델 구조와 $2$-비어 있는 컴플리셜 모델 구조 사이의 동치성을 이용하여, 잘 정의된 호모토피적 성질을 보장한다.
• 표시된 단순형 집합에 대해 텐서링된 모델 카테고리에서 유도된 $\infty$-2-카테고리에서의 2-(코)극한이 모델 카테고리 수준에서의 가중 호모토피 극한과 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(\infty,2)$-카테고리 위에서 $\infty$-카테고리 값을 갖는 다이어그램의 네 가지 변량 유형은 어떻게 피브레이션 구조를 통해 표현될 수 있는가?
• RQ2 라그, 가중, 그리고 페시브 극한을 모두 포괄하는 $(\infty,2)$-카테고리 맥락에서의 (코)카르탕 피브레이션의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 $\infty$-2-카테고리에서 2-(코)극한은 어떻게 정의되고, 호모토피적으로 일관된 방식으로 계산될 수 있는가?
• RQ4 $(\infty,2)$-카테고리 맥락에서 2-(코)극한의 유일성을 보장하는 코(finality)의 개념은 무엇인가?
• RQ5 모델 카테고리에서 유도된 $\infty$-2-카테고리에서의 2-(코)극한이 고전적인 가중 호모토피 극한과 어느 정도 일치하는가?

주요 결과

• $(\infty,2)$-카테고리 위에서 $\infty$-카테고리 값을 갖는 다이어그램의 네 가지 변량 유형은 내부 코카르탕, 외부 카르탕, 외부 코카르탕, 내부 카르탕 피브레이션에 의해 분류된다.
• $\infty$-카테고리의 $\infty$-2-카테고리 위에 일반적인 내부 코카르탕 피브레이션이 존재하며, 이는 일반적인 콘을 통한 2-(코)극한의 구성에 기여한다.
• 다이어그램 $f: \overline{K} \to \mathcal{C}$ 위의 콘의 $\infty$-2-카테고리에 표시된 변이 포함된 경우, 코(finality) 조건이 만족되면 2-극한 콘의 콕스터랙트한 칸 복합체가 존재한다.
• 2-(코)극한 콘이 유일한 콘인 것은, 콘을 콘의 $\infty$-2-카테고리에 포함시키는 사상이 $\mathrm{var}$-코(final) 사상일 때이고, 이는 $\infty$-카테고리 맥락에서의 최종성 개념을 일반화한다.
• 표시된 단순형 집합에 대해 텐서링된 모델 카테고리에서 유도된 $\infty$-2-카테고리에서의 2-(코)극한은 모델 카테고리 수준에서의 가중 호모토피 극한으로 계산된다.
• 2-극한 콘과 그 사이의 카르탕 화살표들로 이루어진 부분 $\infty$-2-카테고리가 콕스터랙트한 칸 복합체이므로, 2-(코)극한이 호모토피적 동치에 대해 유일함을 증명한다.