[논문 리뷰] Finite size effect on dynamical entanglement entropy: CFT and holography

Gautam Mandal, Ritam Sinha외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 26.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 46인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 양자 쿠레시 이후 경계를 가진 두 차원 등각장이론(CFT)에서 유한한 체적 효과가 동적 양자 얽힘 엔트로피(EE)에 미치는 영향을 조사한다. 등각장이론과 히알로그래피를 사용하여 EE가 주기적 복귀를 보이며 주기 $ L $을 가지며, 초기 상태의 온도 $ 1/\beta $ 에 의해 결정되는 값으로 열적 평형에 도달함을 보여주고, 중심 차수 $ c \to \infty $ 근처에서 CFT EE가 보편적이며 정확히 히알로그래픽 EE와 일치함을 밝혀낸다. 이 이중 블랙홀 기하학은 $ L/\beta $ 비율에 따라 BTZ 블랙홀과 글로벌 AdS 사이를 연속적으로 변환한다.

ABSTRACT

Time-dependent entanglement entropy (EE) is computed for a single interval in two-dimensional conformal theories from a quenched initial state in the presence of spatial boundaries. The EE is found to be periodic in time with periodicity equal to the system size $L$. For large enough $L$, the EE shows a rise to a thermal value (characterized by a temperature $1/β$ determined by the initial state), followed by periodic returns to the original value. This works irrespective of whether the conformal field theory (CFT) is rational or irrational. For conformal field theories with a holographic dual, the large $c$ limit plays an essential role in ensuring that the EE computed from the CFT is universal (independent of the details of the CFT and of boundary conditions) and is exactly matched by the holographic EE. The dual geometry is computed and it interpolates between a BTZ black hole at large $L$ and global AdS at large $β$.

연구 동기 및 목표

• 경계와 유한한 시스템 크기 $ L $ 가 2D CFT에서 양자 쿠레시 이후 양자 얽힘 엔트로피(EE)의 시간 진동에 미치는 영향을 이해하는 것.
• 유한한 시스템에서 동적 EE가 주기적 복귀와 열적 평형화를 보이는지, 특히 유리적 및 무리적 CFT에서 어떻게 나타나는지 조사하는 것.
• 큰 중심 차수($ c \to \infty $) 근처에서 EE의 보편성을 확립하고, 히알로그래픽 계산과 정확히 일치하는지 확인하는 것.
• 큰 $ c $ 근처에서 이중 블랙홀 기하학을 유도하여, $ L/\beta $ 비율에 따라 BTZ 블랙홀과 글로벌 AdS 사이를 연속적으로 변환하는지 밝혀내는 것.

제안 방법

• 경계가 있는 유한한 공간 간격을 등각 사상으로 상반평면으로 매핑하여, 스트립 위의 경로 적분을 통해 시간 순서된 상관 함수와 EE를 계산할 수 있도록 하는 방법.
• CFT 상관 함수와 얽힘 엔트로피 계산에서 경계 효과를 고려하기 위해 영상 기법을 적용하는 것.
• 큰 $ c $ 근처에서 EE의 보편성을 확보하여, CFT의 세부 사항이나 경계 조건과 무관하게 성립하도록 하는 것.
• CFT의 큰 $ c $ 근처에서 히알로그래픽 이중 기하학을 유도하며, 메트릭이 큰 $ L $ 에서는 BTZ 블랙홀, 큰 $ \beta $ 에서는 글로벌 AdS로 변환됨을 보여주는 것.
• 블랙홀 내에서 Ryu-Takayanagi 공식을 사용하여 얽힘 엔트로피를 계산하고, 큰 $ c $ 근처에서 CFT 결과와 정확히 일치함을 확인하는 것.
• 등각 부트스트랩 기법을 사용하여 다양한 영역에서 EE의 시간 진동을 분석: 큰 $ L/\beta $ (열적 평형화 및 주기성), 낮은 $ L/\beta $ (고온), 보편 근처에서의 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 존재할 경우, 2D CFT에서 양자 쿠레시 이후 양자 얽힘 엔트로피의 시간 진동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 유한한 시스템에서 얽힘 엔트로피가 주기적 복귀를 보이나며, 만약 그렇다면 복귀 주기는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 CFT에서 동적 얽힘 엔트로피가 어떤 조건에서 보편적이게 되고, 히알로그래픽 예측과 정확히 일치하는가?
• RQ4 큰 중심 차수 근처에서 이중 블랙홀 기하학은 무엇이며, $ L/\beta $ 비율에 따라 BTZ 블랙홀과 글로벌 AdS 사이를 어떻게 변환하는가?
• RQ5 유한한 경계와 주기적 경계 조건이 존재할 경우, 엽힘 전파의 준입자 모형은 어떻게 수정되는가?

주요 결과

• 양자 얽힘 엔트로피(EE)는 CFT가 유리적인지 무리적인지에 관계없이 항상 주기 $ L $ 에 따라 시간에 대해 주기적이다.
• 큰 $ L $ 에서는 EE가 처음에 초기 상태의 온도 $ 1/\beta $ 에 의해 결정되는 열적 평형 값으로 증가한 후, 다시 초기 값으로 주기적으로 복귀하며, 이는 열적 평형화와 복귀를 나타낸다.
• 큰 중심 차수($ c \to \infty $) 근처에서 CFT EE는 보편적이며 정확히 히알로그래픽 EE와 일치함을 보여주며, 이는 이 동적 상황에서 AdS/CFT 대응의 정당성을 확인한다.
• 이중 블랙홀 기하학은 큰 $ L $ 근처에서는 BTZ 블랙홀로, 큰 $ \beta $ 근처에서는 글로벌 AdS로 변환되며, 이 전이 과정은 비율 $ L/\beta $ 에 의해 결정된다.
• 고온 근처에서의 한점 함수 감쇠율($ L/\beta \gg t/\beta \gg 1 $)은 무한한 스트립 결과와 일치하여 기존의 열적 평형 속도와의 일致성을 확인한다.
• 히알로그래픽 얽힘 엔트로피(hEE)는 CFT EE의 주기성을 그대로 이어받으며, hEE의 시간 진동은 CFT와 동일한 등각 기하학에 의해 결정되며, 큰 $ c $ 근처에서 정확히 일치한다.