[논문 리뷰] First applications of generalized Li's criterion to study the Riemann zeta-function zeroes location

S. K. Sekatskiǐ|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 29.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리만 가설(RH)과 동치인 새로 일반화된 리의 기준을 적용하여 리만 제타 함수의 비자명한 영점의 위치를 분석한다. 임의의 양의 정수 n에 대해, 모든 m ≤ n 및 b > bₙ에 대해 일반화된 리 합이 비음성이 유지되는 임계값 bₙ이 존재함을 증명하며, 리만 가설 하에서 이러한 합의 점근적 공식을 유도하여 영점 분포를 연구하는 새로운 분석적 접근법을 제시한다.

ABSTRACT

We present the first applications of the recently established by us (arXiv:1304.7895; Ukrainian Math. J. - 2014. -66. - P. 371-383) generalized Li's criterion equivalent to the Riemann Hypothesis. This criterion is the statement that the Riemann hypothesis is equivalent to the non-negativity of the derivatives 1/((m-1)!)*d^m/dz^m((z+b)^(m-1)*ln(ξ(z))) for z=b+1 of the Riemann xi-function for all real b>-1/2 and all m = 1, 2, 3... We show that for any positive integer n there is such value of b_n (depending on n) that for all m<=n and b>b_n, inequality 1/((m-1)!)*d^m/dz^m((z+b)^(m-1)*ln(ξ(z))) for z=b+1 >=0 does hold true. Assuming RH, we also have found an asymptotic of the generalized Li's sums over non-trivial Rieman zeroes for large n, and discuss what asymptotic of 1/((m-1)!)*d^m/dz^m((z+b)^(m-1)*ln((z-1)*(ζ(z))) at the point z+b+1 is required for the Riemann hypothesis holds true.

연구 동기 및 목표

• 최근에 확립된 리만 가설과 동치인 일반화된 리의 기준을 적용하여 리만 제타 함수의 비자명한 영점의 위치를 분석한다.
• 주어진 n에 대해, 모든 m ≤ n 및 b > bₙ에 대해 일반화된 리 합이 비음성이 유지되는 bₙ이 존재함을 보여준다.
• 리만 가설을 가정할 때 비자명한 영점에 대한 일반화된 리 합의 점근적 표현을 유도한다.
• 리만 가설이 성립하기 위해 필요한 특정 도함수의 점근적 행동을 규명한다.

제안 방법

• 논문은 모든 m ≥ 1 및 실수 b > -1/2에 대해 z = b + 1에서 (z + b)^(m-1) * ln(ξ(z))의 m차 도함수의 비음성으로 표현된 일반화된 리의 기준을 사용한다.
• 비판선 근처의 시그마 함수 행동을 정규화하기 위해 매개변수 b를 도입하여 고차 도함수의 분석을 가능하게 한다.
• 리만 가설을 가정하여 일반화된 리 합의 점근적 행동을 분석하고, 큰 n에 대해 명시적인 점근적 공식을 도출한다.
• 일반화된 기준에서 요구하는 비음성 조건을 확보하기 위해 z = b + 1에서 (z + b)^(m-1) * ln((z - 1)ζ(z))의 m차 도함수의 필요로 하는 점근적 성장을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 양의 정수 n에 대해, 모든 m ≤ n 및 b > bₙ에 대해 일반화된 리 합이 비음성이 유지되는 임계값 bₙ이 존재하는가?
• RQ2 리만 가설을 가정할 때, 비자명한 영점에 대한 일반화된 리 합의 점근적 행동은 n → ∞일 때 어떻게 되는가?
• RQ3 리만 가설이 성립하기 위해 z = b + 1에서 (z + b)^(m-1) * ln((z - 1)ζ(z))의 m차 도함수에 필요한 점근적 조건은 무엇인가?
• RQ4 매개변수 b를 포함하는 일반화된 리의 기준은 고전적 리 기준을 어떻게 정교화하거나 확장하는가?

주요 결과

• 임의의 양의 정수 n에 대해 실수 bₙ이 존재하여, 모든 m ≤ n 및 모든 b > bₙ에 대해 일반화된 리 합이 비음성이 유지된다.
• 리만 가설을 가정할 경우, 비자명한 영점에 대한 일반화된 리 합은 n → ∞일 때 특정한 점근적 성장 패턴을 보인다.
• 논문은 일반화된 리 합에 대한 명시적인 점근적 공식을 n과 비자명한 영점의 허수부에 따라 유도한다.
• 리만 가설이 참이 되기 위해 필요로 하는 조건으로서, z = b + 1에서 (z + b)^(m-1) * ln((z - 1)ζ(z))의 m차 도함수의 점근적 행동이 필수 조건으로 규명된다.