[논문 리뷰] Flat bands and band touching from real-space topology in hyperbolic lattices

Tomáš Bzdušek, Joseph Maciejko|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 23.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 73인용 수 53

한 줄 요약

이 논문은 실공간 위상수학과 쌍곡대역 이론을 융합한 통합 프레임워크를 수립하여, 비유클리드적 카르코메 및 다이스 격자에 해당하는 쌍곡격자에서 평탄한 밴드와 밴드 접합 현상을 설명한다. 평탄한 밴드 비율과 밴드 접합 지표는 주기적 경계 조건 하에서 쌍곡공간의 고유한 위상수학적 성질에 의해 결정되며, 아벨 표현은 밴드 접합을 지배하고, 비아벨 표현은 동일한 평탄한 밴드 비율을 초래한다.

ABSTRACT

Motivated by the recent experimental realizations of hyperbolic lattices in circuit quantum electrodynamics and in classical electric-circuit networks, we study flat bands and band-touching phenomena in such lattices. We analyze noninteracting nearest-neighbor hopping models on hyperbolic analogs of the kagome and dice lattices with heptagonal and octagonal symmetry. We show that two characteristic features of the energy spectrum of those models, namely the fraction of states in the flat band as well as the number of touching points between the flat band and the dispersive bands, can both be captured exactly by a combination of real-space topology arguments and a reciprocal-space description via the formalism of hyperbolic band theory. Furthermore, using real-space numerical diagonalization on finite lattices with periodic boundary conditions, we obtain new insights into higher-dimensional irreducible representations of the non-Euclidean (Fuchsian) translation group of hyperbolic lattices. First, we find that the fraction of states in the flat band is the same for Abelian and non-Abelian hyperbolic Bloch states. Second, we find that only Abelian states participate in the formation of touching points between the flat and dispersive bands.

연구 동기 및 목표

• 비유클리드적 성질을 지닌 쌍곡격자에서 평탄한 밴드와 밴드 접합 현상의 기원을 이해하기 위해, 음의 곡률로 인해 전통적인 운동량 공간이 존재하지 않는 상황을 고려한다.
• 이전에는 유클리드 격자에서만 유효했던 실공간 위상수학적 추론을, 주기적 경계 조건을 갖는 비유클리드 쌍곡격자로 일반화한다.
• 유클리드와 쌍곡격자 간의 평탄한 밴드 물리적 불일치를 해결하기 위해 고유한 위상수학적 성질의 역할을 규명한다.
• 쌍곡대역 이론에서 푸크시안 이동군의 아벨 및 비아벨 기저 표현이 에너지 스펙트럼에 기여하는 방식을 특성화한다.
• 실공간 및 쌍곡운동량공간 형식을 모두 활용하여 평탄한 밴드 비율과 밴드 접합 지표를 통합적으로 기술한다.

제안 방법

• 경계 효과를 제거하기 위해 주기적 경계 조건을 적용한 유한한 쌍곡격자를 사용하여 부스러기 성질을 시뮬레이션한다.
• 비유클리드 격자에서 국소화된 상태(클로저드 로컬라이즈드 스테이트, CLS)와 확장된 고유상태를 식별하기 위해 실공간 위상수학적 추론을 적용한다.
• 푸크시안 이동군의 일반화된 브릴루앙 존과 기저 표현을 기술하기 위해 쌍곡대역 이론(HBT)을 활용한다.
• 에너지 스펙트럼을 계산하고 평탄한 밴드 비율 및 밴드 접합(degeneracy)을 추출하기 위해 실공간 수치 대각화를 수행한다.
• 푸크시안 군의 아벨 및 비아벨 기저 표현이 스펙트럼 특성에 미치는 영향을 분석한다.
• 다양한 대칭성과 밴드 구조를 지닌 네 가지 쌍곡격자—옥타곤-카르코메, 옥타곤-다이스, 헤프타곤-카르코메, 헤프타곤-다이스 격자—간의 결과를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍곡격자에서 평탄한 밴드에 속하는 상태의 비율은 무엇에 의해 결정되며, 유클리드 시스템과는 어떻게 다를까?
• RQ2 왜 일부 쌍곡격자는 평탄한 밴드와 산란성 밴드 사이에 밴드 접합을 보이지만, 다른 격자들은 여전히 갭이 존재하는가?
• RQ3 푸크시안 이동군의 아벨 및 비아벨 기저 표현은 에너지 스펙트럼에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 실공간 위상수학과 쌍곡대역 이론을 융합하여 비유클리드 격자에서 평탄한 밴드 현상을 설명할 수 있는가?
• RQ5 고유한 위상수학적 성질이 주기적 경계 조건 하에서 쌍곡격자의 스펙트럼적 성질을 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• 푸크시안 이동군의 아벨 및 비아벨 기저 표현 모두에서 평탄한 밴드 비율이 동일하므로, 이는 보편적인 위상수학적 기원을 시사한다.
• 평탄한 밴드와 산란성 밴드 사이의 밴드 접합점은 아벨 표현에서만 발생하며, 비아벨 표현에서는 발생하지 않는다.
• 옥타곤-카르코메 격자에서는 평탄한 밴드 비율이 1/3이며, 밴드 접합 지표는 1로, 유클리드 카르코메 격자의 행동과 일치한다.
• 헤프타곤-카르코메 격자는 평탄한 밴드 비율이 1/3이며, 밴드 접합 지표는 0으로, 갭이 존재하는 평탄한 밴드를 나타낸다.
• 옥타곤-다이스 격자는 평탄한 밴드 비율이 5/11이며, 밴드 접합 지표는 2로, 더 높은 배치 수와 비트리비얼 위상수학적 성질을 반영한다.
• 결과는 쌍곡격자의 스펙트럼적 성질가 주기적 경계 조건 하에서의 PBC 다양체의 실공간 위상수학적 성질에 의해 결정되며, 음의 곡률로 인해 고유한 위상수학적 성질을 지닌다.