[논문 리뷰] Fractional G-White Noise Theory, Wavelet Decomposition for Fractional G-Brownian Motion, and Bid-Ask Pricing Application to Finance Under Uncertainty

Wei Chen|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 G-기대 이론과 웨이브렛 기반 분해 및 분수 차수 G-화이트 노이즈를 통합하여 금융 불확실성에 대한 강력한 모델로 분수 차수 G-브라운 운동(fGBm)을 제안한다. 분수 차수 G-ito 적분법 프레임워크를 수립하고, G-Clark-Ocone 공식을 유도하며, 변동성 불확실성 하에서 디스counted 유럽형 권리행사 가격의 하위선형 기대값이 입찰-매도 가격과 일치함을 증명하여 새로운 강력한 옵션 가격 결정 메커니즘을 제시한다.

ABSTRACT

G-framework is presented by Peng [41] for measure risk under uncertainty. In this paper, we define fractional G-Brownian motion (fGBm). Fractional G-Brownian motion is a centered G-Gaussian process with zero mean and stationary increments in the sense of sub-linearity with Hurst index $H\in (0,1)$. This process has stationary increments, self-similarity, and long rang dependence properties in the sense of sub-linearity. These properties make the fractional G-Brownian motion a suitable driven process in mathematical finance. We construct wavelet decomposition of the fGBm by wavelet with compactly support. We develop fractional G-white noise theory, define G-Itô-Wick stochastic integral, establish the fractional G-Itô formula and the fractional G-Clark-Ocone formula, and derive the G-Girsanov's Theorem. For application the G-white noise theory, we consider the financial market modelled by G-Wick-Itô type of SDE driven by fGBm. The financial asset price modelled by fGBm has volatility uncertainty, using G-Girsanov's Theorem and G-Clark-Ocone Theorem, we derive that sublinear expectation of the discounted European contingent claim is the bid-ask price of the claim.

연구 동기 및 목표

• 하위선형 기대값 하에서 분수 차수 브라운 운동을 일반화한 새로운 확률과정인 분수 차수 G-브라운 운동(fGBm)을 사용하여 변동성 불확실성 하에서 금융 자산 가격을 모델링하는 것.
• 분수 차수 G-화이트 노이즈 이론을 개발하고 fGBm를 위한 G-ito-Wick 스토케스틱 적분을 정의하여 모델 불확실성 하에서도 스토케스틱 미적분을 가능하게 하는 것.
• fGBm를 위한 분수 차수 G-ito 공식, 분수 차수 G-Clark-Ocone 공식, G-Girsanov 정리를 수립하여 동적 헤지 및 가격 결정을 지원하는 것.
• 개발된 프레임워크를 적용하여 디스counted 수익의 하위선형 기대값이 변동성 모호성 하에서도 강력한 성질을 가지는 유럽형 상환권의 입찰-매도 가격으로서의 역할을 도출하는 것.

제안 방법

• 하위선형 기대값 하에서 자기유사성, 정적분을 가지며 장거리 의존성을 갖는 중심 G-가우시안 과정으로서 분수 차수 G-브라운 운동(fGBm)을 정의한다.
• 다중 척도 분석을 가능하게 하기 위해 컴팩트 지지 집합을 가진 웨이브렛을 사용하여 fGBm의 웨이브렛 분해를 구성한다.
• G-ito-Wick 스토케스틱 적분을 정의하고 fGBm 기반 SDE에 대한 분수 차수 G-ito 공식을 도출함으로써 분수 차수 G-화이트 노이즈 이론을 개발한다.
• 디스counted 수익의 표현을 스토케스틱 적분으로 나타내기 위해 분수 차수 G-Clark-Ocone 공식을 수립하여 불확실성 하에서의 동적 헤지 가능성을 확보한다.
• fGBm가 새로운 하위선형 기대값 하에서 G-브라운 운동으로 남는 것을 보여주는 측도 변화를 가능하게 하는 G-Girsanov 정리를 증명한다. 이는 불확실한 시장에서의 측도 변화를 촉진한다.
• G-Clark-Ocone 공식과 G-Girsanov 정리를 활용하여, 유럽형 권리행사 가격의 입찰-매도 가격이 그 디스counted 수익의 하위선형 기대값과 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 차수 브라운 운동은 하위선형 기대값 하에서 어떻게 G-가우시안 과정으로 일반화될 수 있으며, 이를 통해 금융 불확실성을 모델링할 수 있는가?
• RQ2 변동성 불확실성 하에서 fGBm에 대한 적절한 스토케스틱 미적분 프레임워크는 무엇이며, 이를 통해 동적 헤지 및 옵션 가격 결정을 어떻게 지원할 수 있는가?
• RQ3 G-Clark-Ocone 공식은 분수 차수 G-브라운 운동으로 일반화될 수 있는가? 이를 통해 상환권을 스토케스틱 적분의 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ4 디스counted 수익의 하위선형 기대값이 변동성 불확실성이 존재하는 시장에서 입찰-매도 가격을 어떻게 도출하는가?
• RQ5 웨이브렛 분해는 G-화이트 노이즈 이론의 맥락에서 fGBm의 분석 및 근사화에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 변동성 불확실성 하에서, 유럽형 상환권의 디스counted 수익의 하위선형 기대값인 $ E^G[e^{-rT} ilde{ heta}] $ 는 그 권리행사 가격의 입찰 가격으로 식별된다.
• 매도 가격은 $ -E^G[-e^{-rT} ilde{ heta}] $ 로 주어지며, 이는 모호성 집합 내 모든 동치 측도에 대한 선형 기대값의 하한값과 일치한다.
• 최적의 헤지 포트폴리오가 분수 차수 G-Clark-Ocone 공식을 사용하여 유도되며, 보유 포osi션은 $ v(t) = S(t)^{-1}e^{-r(T-t)}\tilde{E}_{M_H}[D_t^H \tilde{\theta}|\mathcal{F}_t^H] $ 로 주어져 모델 모호성 하에서도 수퍼헤징을 보장한다.
• fGBm에 대해 G-Itô-Wick 적분과 분수 차수 G-Itô 공식이 수립되어 하위선형 기대값 하에서도 일관된 스토케스틱 통합과 이토 유형 미적분이 가능해진다.
• 컴팩트 지지 집합을 가진 웨이브렛을 사용하여 fGBm의 웨이브렛 분해가 구성되어 다중 척도 분석 및 과정의 수치 근사가 가능해졌다.
• fGBm에 대해 G-Girsanov 정리가 증명되었으며, 측도 변화가 fGBm를 새로운 하위선형 기대값 하에서 G-브라운 운동으로 변환함을 보여주어 과정의 구조가 유지됨을 확인했다.