[논문 리뷰] Free and cofree Hopf algebras

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 26.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 체 위에서 계수가 있고, 연결되어 있으며, 자유롭고 쌍대자유인 호프 대수는 자기쌍대임을 확립하고, 그들의 Poincaré-Hilbert 급수에 의해 동형 사상에 의해 분류됨을 보여준다. 이는 원시 원소들의 리 대수는 자유임을 증명하고, 두 개의 이러한 호프 대수가 비등급 호프 대수로서 동형일 조건은 원시 원소들의 아벨화가 같은 차원을 가져야 한다는 것이다.

ABSTRACT

We first prove that a graded, connected, free and cofree Hopf algebra is always self-dual; then that two graded, connected, free and cofree Hopf algebras are isomorphic if, and only if, they have the same Poincaré-Hilbert formal series. If the characteristic of the base field is zero, we prove that the Lie algebra of the primitive elements of such an object is free, and we deduce a characterization of the formal series of free and cofree Hopf algebras by a condition of growth of the coefficients. We finally show that two graded, connected, free and cofree Hopf algebras are isomorphic as (non graded) Hopf algebras if, and only if, the Lie algebra of their primitive elements have the same number of generators.

연구 동기 및 목표

• 자유롭고 쌍대자유인 호프 대수가 항상 자기쌍대인지 여부를 규명하는 것.
• 같은 Poincaré-Hilbert 급수를 가진 두 개의 이러한 호프 대수가 동형인지 여부를 조사하는 것.
• 기저 체의 특성이 0인 경우 자유롭고 쌍대자유 호프 대수의 원시 원소들의 리 대수의 구조를 특성화하는 것.
• 자유롭고 쌍대자유 호프 대수로서 비등급 호프 대수로서의 동형 기준을 설정하는 것.

제안 방법

• 자기쌍대성은 $\frac{\mathfrak{g}}{\mathfrak{g} \cap H^{+2}}$ 위의 쌍대성 쌍대를 전체 대수 $H$로 확장하여 증명한다.
• 비퇴화적이고 대칭적인 호프 쌍대가 존재함을 이용하여, 두 호프 대수가 동형이 되기 위한 필요충분조건이 Poincaré-Hilbert 급수가 동일해야 한다는 것을 보인다.
• 비등급 호프 대수로서의 동형 기준을 설정하기 위해 호프 대수에 이중등급을 도입하여 등급을 정밀화하고 원시 원소들의 리 대수의 구조를 분석한다.
• 비가환 Connes-Kreimer 호프 대수의 강성 덕분에, 분해 불가능한 원시 원소들의 형식적 급수 $S(h)$는 임의로 선택될 수 있음을 보여준다.
• 특성 0에서 원시 원소들의 리 대수가 자유임을 이용하여 Poincaré-Hilbert 급수의 계수에 대한 성장 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 계수 있고, 연결되어 있으며, 자유롭고 쌍대자유인 호프 대수는 자기쌍대인가?
• RQ2 같은 Poincaré-Hilbert 급수를 가진 두 개의 계수 있고, 연결되어 있으며, 자유롭고 쌍대자유인 호프 대수는 동형인가?
• RQ3 특성 0인 체 위에서 자유롭고 쌍대자유 호프 대수의 원시 원소들의 리 대수의 구조는 무엇인가?
• RQ4 언제 두 개의 자유롭고 쌍대자유 호프 대수가 비등급 호프 대수로서 동형인가?
• RQ5 자유롭고 쌍대자유 호프 대수의 형식적 급수는 계수의 성장 조건으로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 계수 있고, 연결되어 있으며, 자유롭고 쌍대자유인 호프 대수는 $\frac{\mathfrak{g}}{\mathfrak{g} \cap H^{+2}}$ 위의 쌍대성 쌍대에서 유도된 비퇴화적이고 대칭적인 호프 쌍대를 통해 자기쌍대이다.
• 두 개의 이러한 호프 대수는 동일한 Poincaré-Hilbert 급수를 가진 이상으로 계수 호프 대수로서 동형이 된다.
• 특성 0에서 자유롭고 쌍대자유 호프 대수의 원시 원소들의 리 대수는 자유이다.
• 자유롭고 쌍대자유 호프 대수의 형식적 급수는 계수에 대한 성장 조건으로 특성화되며, 이는 정리 19에 의해 표현된다.
• 두 개의 자유롭고 쌍대자유 호프 대수는 비등급 호프 대수로서 동형이 되기 위한 필요충분조건은 원시 원소들의 아벨화 $\frac{\mathfrak{g}}{[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]}$ 와 $\frac{\mathfrak{g}'}{[\mathfrak{g}', \mathfrak{g}']}$ 의 차원이 동일해야 한다는 것이다.
• $\mathbf{FQSym}$, $\mathbf{PQSym}$, $\mathcal{H}_{LR}$, $\mathbf{YSym}$, $\mathcal{H}_{NCK}$, 그리고 그들에 대한 장식 버전들은 원시 원소들의 아벨화가 모두 무한차원이므로 비등급 호프 대수로서 모두 동형이다.