[논문 리뷰] G-Gaussian Processes under Sublinear Expectations and q-Brownian Motion in Quantum Mechanics

Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 부분선형 기댓값 하에서 일반화된 가우시안 프로세스와 복소수 선형 기댓값 하에서의 새로운 q-브라운 운동을 제안하며, 경로 기반 확률적 적분을 통해 슈뢰딩거 방정식의 해를 표현하는 새로운 파인만-하스 공식을 가능하게 한다. 이 틀은 고전적 확률 과정을 비선형 및 양자 기반의 설정으로 확장하여, G-브라운 운동과 q-정규 분포를 일관된 기댓값 공간 내에서 통합한다.

ABSTRACT

We provide a general approach to construct a stochastic process with a given consistent family of finite dimensional distributions under a nonlinear expectation space. We use this approach to construct a generalized Gaussian process under a sublinear expectation and a q-Brownian motion. The later one is under a complex-valued linear expectation, with which a new type of Feynman-Kac formula can be derived to represent the solution of a Schrödinger equation.

연구 동기 및 목표

• 비선형(부분선형) 기댓값 공간에서 주어진 유한차원 분포의 일관된 가족을 갖는 확률 과정을 구성하는 것.
• 유한차원 분포가 G-정규분포를 따르는 G-가우시안 프로세스를 정의하여 고전적 가우시안 프로세스를 비선형 설정으로 일반화하는 것.
• 복소수 선형 기댓값 프레임워크를 도입하여 q-정규 랜덤 변수와 q-브라운 운동을 정의하고, 양자 확률적 행동을 모델링하는 것.
• 슈뢰딩거 방정식의 해를 q-브라운 운동 경로에 대한 기댓값으로 표현하는 새로운 파인만-하스 유형의 공식을 유도하는 것.
• G-용적도 프레임워크 하에서 G-브라운 운동의 경로 연속성과 표현 가능성에 대한 조건을 확립하는 것.

제안 방법

• 주어진 유한차원 분포를 갖는 부분선형 기댓값 하에서의 확률 과정을 구성하기 위해 콜모고로프의 일관성 정리의 일반화를 사용한다.
• 약한 컴act한 확률 측도의 집합 $\mathcal{P}$ 위에서의 최대값으로 부분선형 G-기댓값을 표현한다: $\mathbb{E}[X] = \max_{P \in \mathcal{P}} E_P[X]$.
• G-정규 분포를 통한 G-가우시안 프로세스 정의로, 증분이 비선형 기댓값 하에서 안정적이고 독립적임을 보장한다.
• 복소수 선형 기댓값을 도입하여 q-정규 분포를 정의하고, q-정규 증분을 갖는 q-브라운 운동을 구성하는 데 활용한다.
• G-용적도와 준연속성을 적용하여 $L_G^p(\Omega)$ 공간을 특성화하고, 경로 기반 정규성과 기댓값 수렴을 보장한다.
• 조각별 선형 경로 $\omega^{(n)}(\omega)$를 통한 근사화를 통해 $L_{ip}(\Omega)$ 가 $L_G^1(\Omega)$ 내에서 밀도를 갖는다는 것을 증명하고, 공간의 완비화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 유한차원 분포를 갖는 부분선형 기댓값 공간에서 어떻게 일관된 확률 과정을 구성할 수 있는가?
• RQ2 부분선형 기댓값 하에서 G-가우시안 프로세스의 구조는 무엇이며, 고전적 가우시안 프로세스와 어떻게 다를까?
• RQ3 복소수 선형 기댓값 하에서 q-브라운 운동을 정의할 수 있으며, 그 확률적 성질는 무엇인가?
• RQ4 슈뢰딩거 방정식의 해를 q-브라운 운동을 사용하여 표현하는 새로운 파인만-하스 공식이 존재하는가?
• RQ5 G-용적도 프레임워크 하에서 G-브라운 운동의 연속성과 경로 기반 정규성은 어떤 조건을 만족해야 하는가?

주요 결과

• 모든 유한차원 분포가 G-정규분포를 따르는 G-가우시안 프로세스가 구성되었으며, 이는 고전적 가우시안 프로세스를 비선형 기댓값 공간으로 일반화한다.
• 부분선형 G-기댓값은 약한 컴 pact한 확률 측도의 집합 $\mathcal{P}$ 위에서의 최대값으로 표현되며, 이는 일관성과 불확실성의 표현을 보장한다.
• q-브라운 운동은 복소수 선형 기댓값 하에서 정의되며, 증분이 q-정규 분포를 따르므로, 양자 기반의 확률적 프레임워크를 가능하게 한다.
• 슈뢰딩거 방정식의 해를 q-브라운 운동 경로에 대한 기댓값으로 표현하는 새로운 파인만-하스 공식이 도출되었다.
• $L_G^p(\Omega)$ 공간은 G-기댓값 하에서 $L_{ip}(\Omega)$ 의 완비화로 특성화되며, 원소들은 준연속적이며 尾 적분 가능성을 만족한다.
• 조각별 선형 경로에 의한 근사와 $L_G^1$-노름 수렴을 통해 G-브라운 운동의 경로 연속성이 확립되었다.