[논문 리뷰] Generalized bent functions - sufficient conditions and related constructions

Samir Hodžić, Enes Pašalić|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 29.

Coding theory and cryptography참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 백트(GBent) 함수 $ f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_q $에 대해 $ q $ 가 짝수일 때 충분조건을 유도한다. 이는 구성 부울 함수의 스펙트럼을 통한 일반화된 월리스-하다마르드 변환의 대체 특성화를 이용한다. 주요 기여는 일반적인 gbent 함수를 구성할 수 있는 간결한 스펙트럼 공식을 제공하는 것으로, $ q=4,8 $ 에서는 충분성이 확인되었고, 특히 일반화된 마이오라나-맥파럴랜드 클래스에서 필연성에 대한 강한 신호를 제공한다.

ABSTRACT

The necessary and sufficient conditions for a class of functions $f:\mathbb{Z}_2^n ightarrow \mathbb{Z}_q$, where $q \geq 2$ is an even positive integer, have been recently identified for $q=4$ and $q=8$. In this article we give an alternative characterization of the generalized Walsh-Hadamard transform in terms of the Walsh spectra of the component Boolean functions of $f$, which then allows us to derive sufficient conditions that $f$ is generalized bent for any even $q$. The case when $q$ is not a power of two, which has not been addressed previously, is treated separately and a suitable representation in terms of the component functions is employed. Consequently, the derived results lead to generic construction methods of this class of functions. The main remaining task, which is not answered in this article, is whether the sufficient conditions are also necessary. There are some indications that this might be true which is also formally confirmed for generalized bent functions that belong to the class of generalized Maiorana-McFarland functions (GMMF), but still we were unable to completely specify (in terms of necessity) gbent conditions.

연구 동기 및 목표

• 함수 $ f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_q $ 가 일반화된 백트(gbent)가 되기 위한 충분조건을 특정하는 것, 여기서 $ q $ 는 짝수이다.
• 구성 부울 함수의 월리스 스펙트럼을 이용한 일반화된 월리스-하다마르드 변환의 새로운 스펙트럼 특성화를 제공하는 것.
• 모든 짝수 $ q $ 에 적용 가능한 일반적인 gbent 함수의 구성 방법을 개발하는 것, 특히 2의 거듭제곱이 아닌 값도 포함한다.
• 유도된 충분조건이 일반화된 마이오라나-맥파럴랜드 함수와 같은 구조화된 클래스에서 필연적인지 조사하는 것.

제안 방법

• $ q = 2^h $ 인 경우 $ f(x) = a_0(x) + 2a_1(x) + \cdots + 2^{h-1}a_{h-1}(x) $ 로 표현하고, $ 2^{h-1} < q < 2^h $ 인 경우는 $ f(x) = \frac{q}{2}a(x) + a_0(x) + \cdots + 2^{h-2}a_{h-2}(x) $ 와 같은 수정된 형태를 사용하여 스펙트럼 분석을 단순화한다.
• 구성 함수 $ a_i $ 의 월리스 스펙트럼을 바탕으로 일반화된 월리스-하다마르드 변환에 대한 간결한 공식을 유도한다.
• 스펙트럼 공식을 사용하여 변환 행렬 $ W^T $ 가 부호가 붙은 실릴러스-하다마르드 행렬 $ \pm H^{(r)}_{2^p} $ 와 일치할 조건을 확립한다.
• 일반화된 마이오라나-맥파럴랜드 클래스(GMMF)에 이 방법을 적용하여, GMMF 함수가 유도된 충분조건을 만족함을 보인다.
• 보완 및 이동에 따른 월리스 스펙트럼의 성질, 예를 들어 $ W_g(u) = -W_{g \oplus 1}(u) $ 와 $ W_{g \oplus \alpha}(u) = (-1)^{u \cdot \alpha} W_g(u) $ 등을 활용하여 스펙트럼 조건을 만족하는 예시를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 짝수 $ q $, 특히 2의 거듭제곱이 아닌 경우를 포함하여 일반화된 gbent 함수에 대한 충분조건을 일반적으로 도출할 수 있는가?
• RQ2 유도된 충분조건이 일반화된 마이오라나-맥파럴랜드 함수와 같은 구조화된 클래스에서 필연적인가?
• RQ3 구성 부울 함수의 월리스 스펙트럼을 이용하여 일반화된 월리스-하다마르드 변환을 효율적으로 계산하고 특성화할 수 있는가?
• RQ4 스펙트럼 조건 $ W^T = \pm H^{(r)}_{2^p} $ 가 gbent 함수를 구성하는 데 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 구성 부울 함수의 월리스 스펙트럼을 기반으로 $ f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_q $ 의 일반화된 월리스-하다마르드 스펙트럼을 계산하는 간결하고 효율적인 공식이 도출되었다.
• gbent 성질에 대한 유도된 충분조건은 $ q=4 $ 와 $ q=8 $ 에서 알려진 필요 및 충분조건과 일치하며, 일반적으로 필연적일 가능성이 있음을 시사한다.
• $ q=16 $ 인 경우, 스펙트럼 행렬 $ W^T $ 가 $ \pm H^{(2)}_{8} $ 또는 $ \pm H^{(3)}_{8} $ 와 일치하도록 구성 함수를 선택하여 구성 방법을 시연하였으며, 조건의 충분성을 확인하였다.
• 일반화된 마이오라나-맥파럴랜드 클래스(GMMF)의 gbent 함수는 유도된 충분조건을 만족하며, 이는 이러한 조건이 특정 경우에서 필연적일 수 있다는 추측을 뒷받침한다.
• 이 방법을 통해 구성 함수를 선택함으로써 그들의 스펙트럼 조합이 필요한 부호가 붙은 하다마르드 행렬 조건을 만족하도록 하여 gbent 함수의 일반적인 구성이 가능해진다.