[논문 리뷰] Generalized Rabinowitz Floer homology and coisotropic intersections

Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 52인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 codimension을 가진 coisotropic 부분다양체로 Rabinowitz Floer homology를 확장하며, 잎자국 교차점(leafwise intersection points)을 연구하기 위해 다중 라그랑주 승수를 가진 일반화된 행동 함수를 도입한다. 주요 기여는 국소 Rabinowitz Floer homology가 부분다양체의 특이 homology와 동형임을 증명하는 것으로, 적절한 Hofer 노름 범위 내에서 이는 부분다양체의 Betti 수만큼의 잎자국 교차점이 존재함을 시사한다.

ABSTRACT

In this paper, we extend Rabinowitz Floer homology theory which has been established and extensively studied for hypersurfaces to coisotropic submanifolds of higher codimension. With this generalized version of Rabinowitz Floer homology theory, we explore the coisotropic intersection problem which interpolates between the Lagrangian intersection problem and the closed orbit problem. To be specific, we study the existence of leafwise intersection points on contact coisotropic submanifolds and the displaceability of stable coisotropic submanifolds.

연구 동기 및 목표

• 고차원 codimension을 가진 coisotropic 부분다양체로 Rabinowitz Floer homology를 일반화한다.
• 접촉 및 안정적인 coisotropic 부분다양체에서의 잎자국 교차점 존재성을 연구한다.
• coisotropic 부분다양체의 기하학적·위상수학적 특성을 탐지하는 호모로지 불변량—일반화된 Rabinowitz Floer homology—를 수립한다.
• 일반화된 행동 함수의 국소 Rabinowitz Floer homology가 부분다양체의 특이 homology와 동형임을 증명한다.

제안 방법

• codimension k를 가진 coisotropic 부분다양체에 대해 다중 라그랑주 승수를 가진 일반화된 Rabinowitz 행동 함수를 도입한다.
• 행동 함수의 임계점을 포함하는 유한한 행동 창 내에서 일반화된 Rabinowitz Floer homology를 정의한다.
• 편미분 기법과 계속성 사상(continuation maps)을 사용하여 서로 다른 행동 창 간의 관계를 설정하고 불변성을 확보한다.
• Arzelà-Ascoli 정리를 적용하여 국소 행동 창 내의 임계점의 유한성을 보인다.
• coisotropic 부분다양체의 특성 분할의 Reeb 흐름에 기반하며, 고차원 codimension으로 일반화된 Reeb 궤도를 정의한다.
• 부분다양체 위에서의 모스 이론적 접근을 통해 국소 Rabinowitz Floer homology와 특이 homology 간의 동형을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 Rabinowitz Floer homology는 고차원 codimension을 가진 coisotropic 부분다양체에서의 잎자국 교차점 존재성을 탐지할 수 있는가?
• RQ2 coisotropic 부분다양체의 국소 Rabinowitz Floer homology는 계산 가능하며, 그 특이 homology와 관련이 있는가?
• RQ3 해밀토니안의 Hofer 노름과 그것이 유도하는 잎자국 교차점의 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 일반화된 Rabinowitz 행동 함수는 편미분과 계속성 사상에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 안정적 또는 접촉(coisotropic) 부분다양체가 이동 가능(displaceable)해지는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 국소 Rabinowitz Floer homology는 Z/2 계수를 가진 coisotropic 부분다양체의 특이 homology와 동형이다.
• 국소 Rabinowitz Floer homology의 차원은 부분다양체의 Betti 수의 합보다 크거나 같다.
• 비자명한 일반화된 Reeb 궤도의 최소 행동보다 Hofer 노름이 작은 해밀토니안 미분형사의 경우, 잎자국 교차점의 수는 부분다양체의 Betti 수만큼으로 아래bound된다.
• 일반화된 Rabinowitz Floer homology는 계속성 사상에 대해 불변이며, 행동 창 간에 동형이 유지된다.
• 국소 창 내에서 일반화된 행동 함수의 임계점은 부분다양체 위의 점과 일대일 대응되며, 경계 연산자에서의 캐스케이드가 존재하지 않는다.
• 표준 Rabinowitz 함수에서 편미분된 함수로의 계속성 사상은 특이 homology에서 국소 Rabinowitz Floer homology로의 단사 준동형을 유도한다.