[논문 리뷰] Generation for Lagrangian cobordisms in Weinstein manifolds

Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정지된 Weinstein 다양체에서 라그랑주 코어와 연결 디스크가 라그랑주 코버디즘의 ∞-분류계를 생성함을 확립하며, 표준 객체들로의 코버디즘을 통한 구조적 기하적 해법을 통해 모든 정확한 브레인을 기하적으로 해결할 수 있음을 보여준다. 이 결과는 모든 안정화된 브레인이 분리된 코 tangent 섬유와 영 객체로의 라그랑주 코버디즘을 갖는다는 것을 의미하며, 이는 이전의 후카카-분류계 생성 결과보다 더 강력한 기하적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We prove that Lagrangian cocores and Lagrangian linking disks of a stopped Weinstein manifold generate the Lagrangian cobordism infinity-category. As a geometric consequence, we see that any brane (after stabilization) admits a Lagrangian cobordism to a disjoint union of some standard collection of branes (cocores, linking disks, and a zero object). For example, when our stopped Weinstein manifold is a point stopped by itself, we find that any exact brane in Euclidean space admits a Lagrangian cobordism to a disjoint union of cotangent fibers and a zero object. (This is a stronger statement than one could obtain from purely Fukaya-categorical generation results.) Our methods are constructive. For example, when our Weinstein manifold is a point, after stabilization we can resolve the conormal to a compact manifold A of R^n by a sequence of cotangent fibers; the resulting filtration realizes, after passage to the wrapped Fukaya category, the Morse cochain complex of A associated to (and hence filtered by) a generic ``distance to a point'' function; the associated gradeds are the reduced homologies of the Morse attaching spheres. There is also an algebraic consequence. Lagrangian cobordism theory is conjectured (in analogue to classical cobordism theory) to be linear over a ring spectrum L controlling Lagrangian cobordisms between cotangent fibers in Euclidean spaces. Our main theorem gives strong evidence for this conjecture: The infinity-category of Lagrangians and their cobordisms in R^infinity is equivalent to a full subcategory of modules over L. We conclude by proving a π_0-level theorem that gives further evidence of the above conjecture: We exhibit a π_0-level symmetric monoidal structure compatible with the linear structure of L-modules.

연구 동기 및 목표

• 정지된 Weinstein 다양체에서 라그랑주 코버디즘의 ∞-분류계에 대한 기하적 생성 결과를 확립하기 위해.
• 모든 정확한 브레인을 코어, 연결 디스크, 영 객체를 포함한 표준 객체 집합으로의 라그랑주 코버디즘으로 기하적으로 실현할 수 있는 구조적 방법을 제공하기 위해.
• 무한대에서의 행동을 제어하는 코버디즘을 명시적으로 구성함으로써, 순수히 후카카-분류계적 생성보다 더 강력한 기하적 실현을 제공하기 위해.
• 라그랑주 코버디즘 이론이 유클리드 공간 내 코 tangent 섬유 간의 코버디즘을 제어하는 링 스펙트럼 σ에 대해 선형인 데 대한 추측에 대한 대수적 증거를 제공하기 위해.
• 라그랑주 코버디즘의 호모토피 분류계에 대해 π₀ 수준의 대칭 모노이드 구조를 구성하고, σ-모듈의 선형 구조와 호환되도록 하기 위해.

제안 방법

• 증명은 해밀토니안 이소토피와 콘형 구조를 사용하여 명시적인 라그랑주 코버디즘을 구성하며, 무한대에서의 프리미티브가 0이 되도록 보장한다.
• 이 방법은 컴acts부분다양체 A ⊂ ℝⁿ의 정규법다양체를 연이은 코 tangent 섬유를 통해 해소함으로써, A의 모어스 코호전자복합체를 실현하는 필터링을 얻는 데 기반한다.
• 이 구성은 랩드 후카카 분류계를 사용하여 관련된 계층 객체들을 모어스 부착구의 축소된 호모로지로 해석한다.
• 저자들은 카르테시안 곱과 스위치 사상에 의해 σ-모듈의 호모토피 분류계에 대해 대칭 모노이드 구조를 정의하며, 로테이션 벡터 필드를 사용하여 검증한다.
• 코버디즘 분류계에서의 매핑 콘은 사상의 콘과의 곱으로 기하적으로 실현되며, 삼각형 구조를 유지한다.
• 코버디즘 분류계에 대한 σ-모듈의 이중모듈러 작용은 라그랑주 부분다양체와의 텐서곱을 통해 정의되며, 대칭 모노이드 구조와 호환된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정지된 Weinstein 다양체 내의 모든 정확한 브레인은 라그랑주 코버디즘을 통해 표준 객체 집합으로 기하적으로 해소될 수 있는가?
• RQ2 정지된 Weinstein 다양체에서 라그랑주 코버디즘의 ∞-분류계는 코어와 연결 디스크에 의해 기하적으로 생성되는가?
• RQ3 라그랑주 코버디즘 이론이 링 스펙트럼 σ에 대해 선형인 데 대한 대수적 추측은 분류계 동치에 의해 뒷받침될 수 있는가?
• RQ4 라그랑주 코버디즘의 호모토피 분류계에 대해 π₀ 수준의 대칭 모노이드 구조가 σ-모듈의 구조와 호환되는가?
• RQ5 코 tangent 섬유를 통한 정규법다양체의 필터링은 기저 다가다양체의 모어스 코호전자복합체와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 정지된 Weinstein 다양체에서 라그랑주 코버디즘의 ∞-분류계는 안정 ∞-분류계로서 라그랑주 코어와 연결 디스크에 의해 생성된다.
• 정지된 Weinstein 다양체 내의 모든 안정화된 정확한 브레인은 분리된 코어, 연결 디스크, 그리고 영 객체의 합집합으로의 라그랑주 코버디즘을 갖는다.
• Weinstein 다양체가 한 점일 경우, T*ℝ^N 내의 모든 정확한 브레인은 분리된 코 tangent 섬유와 영 객체의 합집합으로의 코버디즘을 갖는다.
• 이 구성은 코 tangent 섬유의 필터링을 통해 컴팩트 부분다양체 A ⊂ ℝⁿ의 모어스 코호전자복합체를 실현하며, 계층 조각들은 모어스 부착구의 축소된 호모로지와 동형이다.
• ℝ^∞에서의 라그랑주 코버디즘의 ∞-분류계는 링 스펙트럼 σ의 모듈의 전부분분류계의 부분분류계와 동치이다.
• σ-모듈의 호모토피 분류계에 대해 π₀ 수준의 대칭 모노이드 구조가 구성되었으며, 이는 이중모듈러 작용과 매핑 콘의 구조와 호환된다.