[논문 리뷰] Geometry from Brackets Consistency

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 74인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 미분방정식이나 군론적 구성에 의존하지 않고 기하적 구조를 유도하는 데 있어 대수적 접근을 제공하는 기하학의 '기초 기둥'으로 Lie 괄호 일관성(6번 기둥)을 제안한다. 후보 생성자들에 대해 Lie 괄호의 닫힘 조건을 적용함으로써 평탄한 공간에서 등각 및 사영 기하학 구조를 회복할 수 있으며, 이는 일반적인 안자수의 자기괄호가 강하게 0이 되도록 요구함으로써 유도되는 이차 방정식의 근으로 자연스럽게 나타나는 등각–사영 이중성에 기인한다.

ABSTRACT

We argue for Brackets Consistency to be a `Pillar of Geometry', i.e. a foundational approach, other Pillars being 1) Euclid's constructive approach, 2) the algebraic approach, 3) the projective approach, and 4) the geometrical automorphism groups `Erlangen' approach. We proceed via a distinct Pillar 5) - Killing's computational route to Erlangen's groups - firstly by picking out the ensuing geometrically significant brackets subalgebras as consistent possibilities. Secondly, by considering which generators, arising piecemeal from different generalized Killing equations, combine brackets-consistently, recovering the affine-conformal and projective-conformal alternatives. Thirdly, we cease to rest on Killing's Pillar altogether, replacing it by mere polynomial ansätaze as source of generators. Even in this case - demanding (Lie) Brackets Consistency - suffices to recover notions of geometry, as indicated by the below alternative just dropping out of the ensuing brackets algebra, and is thus declared to be Pillar 6. The current article is further motivated, firstly, by the gradually accumulating successes in reformulating Theoretical Physics to run on the Dirac Algorithm for classical constraint algebraic structure consistency. Secondly, this is sufficiently driven by Brackets Consistency alone to transcend to whichever context possesses such brackets. Thirdly, we derive the conformal-or-projective alternative in top-automorphism-group $d \geq 3$ Flat Geometry. In a manner by now familiar in Dirac Algorithm applications, a) these two top geometries moreover arise side by side as roots of a merely algebraic quadratic equation. b) This equation arises from requiring that the self-bracket of a general ansatz for generators be strongly zero. c) For, if not, an infinite cascade of generators would follow, by which the ansatz would not support a finite Shape Theory.

연구 동기 및 목표

• 미분방정식이나 군론적 구성에 의존하지 않고도 Lie 괄호 일관성을 기하학의 기본 원리로 설정하는 것.
• 등각, 사영, 애프린 기하학 구조와 같은 기하적 구조가 후보 생성자들에 대한 Lie 괄호의 대수적 일관성만으로도 유도될 수 있음을 보여주는 것.
• 일반적인 안자수의 자기괄호가 강하게 0이 되도록 요구함으로써 평탄한 기하학에서의 등각–사영 이중성이 이차 방정식의 근으로 나타나는 방식을 보여주는 것.
• 일반화된 킬링 방정식의 접근을 다항식 안자수로 대체하면서도 괄호 닫힘 조건을 통해 기하학적 일관성을 유지하는 방식으로 킬링 방정식 접근을 일반화하는 것.
• 괄호 일관성에서 유도되는 리 대수 분해에서 통합 가능성 구조(예: 한 방향, 양 방향, 또는 차단된 통합 가능성)를 식별하고 분류하는 것.

제안 방법

• 후보 생성자 $c_A$ 에 대해 Lie 괄호 닫힘 조건 $[c_A, c_B] = C^C_{AB} c_C$ 를 적용함으로써 이 조건을 기본적인 일관성 요구 조건으로 간주한다.
• 일반화된 킬링 방정식을 풀지 않고도 일반 다항식 안자수를 생성자에 적용함으로써 미분기하학을 피한다.
• 일반 안자수 $X$ 에 대해 자기괄호 $[X, X] = 0$ 이 강하게 성립하도록 강제함으로써, 이차 방정식을 도출하며 그 근들이 기하학적으로 일관된 대수에 대응한다.
• 리 대수의 블록(예: $\mathfrak{h}$, $\mathfrak{K}$)으로의 대수적 분해를 분석하고, 직접 곱, 반직접 곱, 한 방향 통합 가능성, 또는 양 방향 통합 가능성 등의 통합 가능성 유형을 식별한다.
• 일관된 닫힘(유한한 대수로 이어지는 경우)과 불일치하는 경우(새로운 생성자가 무한하게 연쇄 생성되는 경우)를 구분한다.
• 비영 구조 상수 $\Theta_{AB}$ 또는 $\Theta_{AA'}$ 를 통한 차단 요소를 분류하고, 계수 조정을 통해 이를 제거할 수 있는 경우를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lie 괄호 일관성만으로도 미분방정식이나 변환군에 의존하지 않고도 기하학의 기본 원리가 될 수 있는가?
• RQ2 일반 생성자 안자수의 자기괄호가 강하게 0이 되도록 요구할 경우, 이는 등각 기하학이나 사영 기하학과 같은 기하적 구조가 어떻게 유도되는가?
• RQ3 다양한 일반화된 킬링 방정식에서 유도된 후보 생성자들이 괄호 일관성 하에서 결합될 경우 어떤 대수적 구조가 나타나는가?
• RQ4 킬링 방정식 접근을 다항식 안자수로 대체함으로써도 여전히 유한하고 일관된 기하학적 대수를 얻을 수 있는가?
• RQ5 괄호 일관성에서 유도된 리 대수 분해에서의 통합 가능성 유형(예: 한 방향, 양 방향, 차단됨)은 결과 기하 이론의 일관성과 유한성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 등각 기하학과 사영 기하학이 평탄한 공간 $d \geq 3$ 에서는 일반 안자수의 자기괄호가 강하게 0이 되도록 요구함으로써 도출된 이차 방정식의 두 근으로서 상호 이중성으로 자연스럽게 나타난다.
• 미분방정식을 풀지 않더라도 괄호 일관성만으로도 전체 생성자 대수의 일관된 부분대수로서 애프린–등각 및 사영–등각 대수를 회복할 수 있다.
• $d \geq 2$ 에서 특수 등각 및 특수 사영/애프린 생성자를 동시에 포함할 경우 새로운 생성자들의 무한한 연쇄가 발생하여 상호 불일치를 나타낸다.
• 이 방법은 리 대수 분해에서 여섯 가지의 구별 가능한 통합 가능성 유형을 식별하였으며, 직접 곱에서 양 방향 통합 가능성까지 다양하게 포함되며, 후자는 상호 의존성을 나타내고 독립된 부분대수의 구조를 상실함을 의미한다.
• 경직된 차단 요소($\Theta_{AB} \neq 0$)와 무한한 연쇄는 괄호의 구조 계수를 0으로 조정할 수 있을 때만 제거되며, 이는 자기괄호가 강하게 0이 되는 것과 동치이다.
• 일관된 괄호 닫힘 조건에서 자연스럽게 반직접 곱 구조 $\mathfrak{h} \rtimes \mathfrak{K}$ 와 $\mathfrak{K} \rtimes \mathfrak{h}$ 가 유도되며, 첫 번째 경우는 한 방향 통합 가능성에 해당하며, 이는 한 블록이 다른 블록을 함의함을 의미한다.