[논문 리뷰] Geometry of multi-marginal martingale optimal transportations and duality

Tongseok Lim|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 44인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다중 자산에 의존하는 옵션을 위한 마틴갈 마르팅게일 최적 운반(MOT)의 일반화인 다중-마진 마르팅게일 최적 운반(MMOT)을 소개한다. MMOT 문제에 대한 이중 최적화자가 존재함을 입증하며, 원래 해의 기하학적 구조를 드러내고, 거리 유형 비용에 대해 극한 조건 상관관계가 최적 운반 계획에서 발생함을 보여준다.

ABSTRACT

The theory of Optimal Transport (OT) and Martingale Optimal Transport (MOT) were inspired by problems in economics and finance and have flourished over the past decades, making significant advances in theory and practice. MOT considers the problem of pricing and hedging of a financial instrument, referred to as an option, assuming its payoff depends on a single asset price. In this paper we introduce Multi-marginal Martingale Optimal Transport (MMOT) problem, which considers the more general and realistic situation in which the option payoff depends on multiple asset prices. We address this problem of pricing and hedging given market information -- described by multi-marginals -- which is an intimately relevant setup in the robust financial framework. We establish that the MMOT problem, as an infinite-dimensional linear programming, admits an optimizer for its dual program. Such existence result of dual optimizers is significant for several reasons: the dual optimizers describe how a person who is liable for an option payoff can formulate optimal hedging portfolios, and more importantly, they can provide crucial information on the geometry of primal optimizers, i.e. the MMOTs. As an illustration, we show that multiple martingales given marginals must exhibit an extremal conditional correlation structure whenever they jointly optimize the expectation of distance-type cost functions.

연구 동기 및 목표

• 다중 기초 자산 가격에 의존하는 파생상품에 대해 마틴갈 마르팅게일 최적 운반을 다중 자산으로 일반화하는 것.
• 다중 주요 분포로 표현된 시장 정보 하에서 강건한 가격 책정과 헤징을 모델링하는 것.
• MMOT의 무한차원 선형계획형식에서 이중 최적화자 존재성을 확립하는 것.
• 이중성에 의한 기하학적 통찰을 통해 원래 MMOT 해의 구조를 밝혀내는 것.

제안 방법

• 다중 주요 조건과 마틴갈 조건을 갖춘 무한차원 선형계획으로 MMOT 문제를 수립한다.
• MMOT 문제에 이중성 이론을 적용하여 잘 정의된 최적화자를 갖는 이중 프로그램을 유도한다.
• 이중 최적화자의 존재를 이용해 원래 MMOT 계획의 구조적 성질를 유추한다.
• 거리 유형 비용 함수 하에서 조건부 상관관계 구조를 분석함으로써 최적 운반 계획의 기하학을 분석한다.
• 콤���터성 부재 상황에서도 이중 해의 존재성을 증명하기 위해 변분법 및 볼록 해석 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 주요 마틴갈 최적 운반 문제에서 이중 최적화자가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 거리 유형 비용 함수 하에서 최적 운반 계획의 기하학적 성질—특히 조건부 상관관계—는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 기대 비용을 함께 최소화하는 다중 주요 마틴갈 쌍화에서 어떤 구조적 제약 조건이 발생하는가?
• RQ4 이중 최적화자는 다중 자산 파생상품 가격 책정에서 최적 헤징 전략을 어떻게 구성하는가?
• RQ5 여러 자산의 공동 의존성은 운반 계획의 극한 행동을 어떻게 형성하는가?

주요 결과

• MMOT 문제의 이중 프로그램은 최적화자를 갖는다. 이는 무한차원 최적화 이론에서 중요한 이론적 결과이다.
• 이중 최적화자의 존재는 다중 자산 옵션에 대한 최적 헤징 전략의 구성이 가능하게 한다.
• 거리 유형 비용 함수를 최소화할 때 원래 MMOT 해는 극한 조건부 상관관계 구조를 보인다.
• 여러 마틴갈 간의 조건부 상관관계는 최적 운반 계획에서 극한 값을 도달한다.
• 이중성 프레임워크는 다중 주요 마틴갈 쌍화에 깊은 기하학적 제약을 드러내며, 이중성과 운반 계획의 구조적 성질을 연결한다.