[논문 리뷰] Givental J-functions, Quantum integrable systems, AGT relation with surface operator

Satoshi Nawata|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 18.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 68인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 AGT 관계를 통해 4차원 $υ=2$ 게이지 이론과 완전한 표면 연산자 간의 정확한 대응을 설정하며, 초대칭 국소화와 체인 saw 퀼리 표현을 사용하여 정확한 네크라스코프 분할 함수를 유도한다. 표면 연산자 위의 비틀림 분할 함수를 플래그 다양체의 코탄젠트 벡터 장의 Givental $J$-함수로 식별하고, 그라스만이안의 양자 접속과 프로젝션 공간의 $J$-함수의 외적의 관계를 연결하는 추측을 증명한다.

ABSTRACT

We study 4d $\mathcal{N}=2$ gauge theories with a co-dimension two full surface operator, which exhibit a fascinating interplay of supersymmetric gauge theories, equivariant Gromov-Witten theory and geometric representation theory. For pure Yang-Mills and $\mathcal{N}=2^*$ theory, we describe a full surface operator as the 4d gauge theory coupled to a 2d $\mathcal{N}=(2,2)$ gauge theory. By supersymmetric localizations, we present the exact partition functions of both 4d and 2d theories which satisfy integrable equations. In addition, the form of the structure constants with a semi-degenerate field in SL(N,R) WZNW model is predicted from one-loop determinants of 4d gauge theories with a full surface operator via the AGT relation.

연구 동기 및 목표

• 초대칭 국소화를 사용하여 4차원 $υ=2$ 순수 양밀스 이론과 $υ=2^*$ 이론의 표면 연산자가 있는 정확한 네크라스코프 분할 함수를 유도한다.
• 표면 연산자 위의 2차원 비틀림 분할 함수를 플래그 다양체의 코탄젠트 벡터 장의 Givental $J$-함수로 식별한다.
• 양자 접속 $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$과 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$의 $r$-번째 외적의 양자 접속 간의 대응을 설정하고, 명시적 $J$-함수 표현을 통해 최근의 추측을 확인한다.
• AGT 관계를 통해 4차원 게이지 이론의 표면 연산자에서의 1-루프 결정을 통해 $\mathrm{SL}(N,\mathbb{R})$ WZNW 모델의 구조 상수를 예측한다.

제안 방법

• 초대칭 국소화를 사용하여 4차원 $υ=2$ 게이지 이론과 표면 연산자에 연결된 2차원 $(2,2)$ 게이지 이론의 정확한 분할 함수를 계산한다.
• 체인 샤우 퀄리 표현을 사용하여 인스탄톤 모듈리 공간을 아핀 로모언 공간으로 기술하며, 이는 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}/\mathbb{Z}_M)$ 위의 인스탄톤 모듈리 공간과 동치이다.
• 등변 매개변수, 초위상 루트, 질량 매개변수에 대한 표현으로 네크라스코프 분할 함수의 경로 적분 표현을 도출한다.
• 2차원 $(2,2)^*$ 비선형 시그마 모델의 허그 브랜치 국소화를 통해 $T^*\mathrm{Fl}(\vec{d})$ 위의 비틀림 분할 함수를 계산한다. 타겟 공간은 플래그 다양체의 코탄젠트 벡터 장이다.
• 포카허 심볼과 미분 연산자를 사용하여 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$과 $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$의 $J$-함수를 명시적으로 표현한다.
• 호리와 바파의 추측을 증명하기 위해, $J[T^*\mathrm{Gr}(r,N)]$이 $J[T^*\mathbb{P}^{N-1}]$ 함수의 곱에 바르드모인 미분 연산자를 적용하고 질량 매개변수 $m$을 포함한 보정 인자를 곱함으로써 유도됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 $υ=2$ 게이지 이론의 네크라스코프 분할 함수 중 표면 연산자가 있는 경우는 플래그 다양체의 Givental $J$-함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$의 양자 접속은 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$의 양자 접속의 외적의 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ3 표면 연산자 위의 비틀림 분할 함수와 해당 2차원 타겟 공간의 $J$-함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 4차원 게이지 이론의 표면 연산자에서의 1-루프 결정은 AGT 관계를 통해 $\mathrm{SL}(N,\mathbb{R})$ WZNW 모델의 구조 상수를 어떻게 예측하는가?
• RQ5 체인 샤우 퀄리의 역할은 표면 연산자 경계 조건을 가진 인스탄톤 모듈리 공간을 어떻게 실현하는가?

주요 결과

• $\mathcal{N}=(2,2)^*$ 비선형 시그마 모델의 비틀림 분할 함수는 등변 매개변수와 질량 매개변수의 포카허 심볼을 포함한 경로 적분 표현으로 주어진다.
• $T^*\mathbb{P}^{N-1}$의 $J$-함수는 $J[T^*\mathbb{P}^{N-1}] = \sum_k z^k \frac{(\hbar^{-1}H - \hbar^{-1}m)^N_k}{(1 + \hbar^{-1}H)^N_k}$로 명시적으로 계산되며, 양자 미분 방정식 $[(z\partial_z)^N - z(z\partial_z - \hbar^{-1}m)^N]J = 0$을 만족한다.
• $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$의 $J$-함수는 $r$개의 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$의 $J$-함수의 곱으로 유도되며, 미분 연산자와 질량 매개변수 $m$을 포함한 보정 인자로 수정된다.
• 호리와 바파의 추측은 $J[T^*\mathrm{Gr}(r,N)] = \prod_{s<t} \frac{z_s\partial_{z_s} - z_t\partial_{z_t}}{\hbar^{-1}H_s - \hbar^{-1}H_t} \left[ \frac{z_s\partial_{z_s} - z_t\partial_{z_t} + 1 + \hbar^{-1}m}{\hbar^{-1}H_s - \hbar^{-1}H_t + 1 + \hbar^{-1}m} \right]^{-1} J[\mathbb{T}^*\mathbb{P}](z_1,\dots,z_r)\big|_{z_s = z}$로 표현됨을 보여 증명된다.
• $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$의 $J$-함수는 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$의 $J$-함수의 $r$-번째 외적임을 보여주며, 갈킨과 우에다의 최근 결과를 확인한다.
• $\mathrm{SL}(N,\mathbb{R})$ WZNW 모델의 구조 상수 중 반분해성 필드가 있는 경우는 4차원 $υ=2^*$ 게이지 이론의 표면 연산자에서의 1-루프 결정을 통해 AGT 관계를 통해 예측된다.