[논문 리뷰] Localization with a Surface Operator, Irregular Conformal Blocks and Open Topological String

Hidetoshi Awata, Hiroyuki Fuji외 3명|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 03.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 44인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 매니폴드의 모듈리 공간 위에서 국소화를 사용하여, 표면 연산자를 가진 SU(2) $υ=2$ 양자역학 이론의 순간자 분할 함수와, 열악한 주요 장을 삽입한 conformal field theory (CFT) 상관 함수 사이의 정확한 일치를 확립한다. 이는 반구반의 한계를 초월한 AGT 대응을 확인하고, 풍미의 분리가 점 渐진적으로 자유 이론으로 이르는 불규칙한 특이점을 가진 미분방정식을 유도하며, 기하학적 공 ingeneering 을 통해 국소 히르체브루흐 표면 위의 개방형 위상수학적 끈 앰피티유드와 연결한다.

ABSTRACT

Following a recent paper by Alday and Tachikawa, we compute the instanton partition function in the presence of the surface operator by the localization formula on the moduli space. For SU(2) theories we find an exact agreement with CFT correlation functions with a degenerate operator insertion, which enables us to work out the decoupling limit of the superconformal theory with four flavors to asymptotically free theories at the level of differential equations for CFT correlation functions (irregular conformal blocks). We also argue that the K theory (or five dimensional) lift of these computations gives open topological string amplitudes on local Hirzebruch surface and its blow ups, which is regarded as a geometric engineering of the surface operator. By computing the amplitudes in both A and B models we collect convincing evidences of the agreement of the instanton partition function with surface operator and the partition function of open topological string.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 공간 위에서 국소화를 사용하여 표면 연산자가 존재하는 경우의 순간자 분할 함수를 계산하는 것.
• 반구반의 한계를 초월하여, 게이지 이론의 분할 함수와 열악한 연산자 삽입을 포함한 CFT 상관 함수 사이의 정확한 대응을 확립하는 것.
• 초등형 $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 이론이 네 개의 풍미를 가지는 경우의 분리 한계에서 점 渐진적으로 자유 이론으로의 전이를 묘사하는 불규칙한 특이점을 가진 미분방정식을 유도하고 분석하는 것.
• 기하학적 공 ingeneering 을 통해 결과 분할 함수를 국소 히르체브루흐 표면과 그 블로우업 위의 개방형 위상수학적 끈 앰피티유드와 연결하는 것.

제안 방법

• 순간자의 모듈리 공간 위에서 국소화 공식을 적용하여, $SU(2)$ 게이지 이론의 표면 연산자가 존재하는 경우의 순간자 분할 함수를 계산하는 것.
• Feigin 등이 제시한 등변 특성 공식을 사용하여, 전체 표면 연산자 유형에 대해 직접 분할 함수를 계산하는 것.
• Gaiotto 상태에 대한 열악한 장 $\Phi_{1,2}$ 의 한점 함수에 대해 미분방정식을 유도하며, 이는 불규칙한 특이점을 포함한다.
• 이들 미분방정식을 스케일 매개변수 $\Lambda$ 에 대한 멱급수로 풀어, 순간자 전개와 일치시키는 것.
• $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 이론에서 네 개의 풍미를 가진 경우의 분리 한계를 물리 질량을 무한대로 보내고 $\Lambda$ 를 재정의함으로써 수행하며, 이에 대응하는 CFT 측면의 극한을 분석하는 것.
• 위상수학적 정점 형식과 접합 규칙을 사용하여, 게이지 이론의 K-이론 (다섯 차원) 상승이 국소 히르체브루흐 표면과 그 블로우업 위의 개방형 위상수학적 끈 앰피티유드와 연결되는 것을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 연산자가 존재하는 $SU(2)$ $\mathcal{N}=2$ 게이지 이론의 순간자 분할 함수가 열악한 주요 장 삽입을 포함한 CFT 상관 함수와 정확히 일치하는가?
• RQ2 초등형 $\mathcal{N}=2$ 이론이 점 渐진적으로 자유 이론으로 전이되는 분리 한계에서 불규칙한 특이점을 가진 conformal block 의 미분방정식은 어떻게 유도되는가?
• RQ3 국소화를 통해 반구반의 한계를 초월하여 정확한 순간자 기여를 포함한 AGT 대응을 확장할 수 있는가?
• RQ4 표면 연산자의 기하학적 공 ingeneering 해석은 국소 히르체브루흐 표면 위의 개방형 위상수학적 끈 앰피티유드로 어떻게 해석될 수 있는가?
• RQ5 B-모델의 계산과 A-모델의 계산이 위상수학적 정점과 접합 규칙을 통해 표면 연산자가 존재하는 게이지 이론의 분할 함수를 어떻게 재현하는가?

주요 결과

• 표면 연산자가 존재하는 순간자 분할 함수와 열악한 장 삽입을 포함한 CFT 상관 함수 사이에 반구반의 한계를 초월하여 정확한 일치가 발견되었다.
• Gaiotto 상태에 대한 $\Phi_{1,2}$ 의 한점 함수에 대한 미분방정식은 불규칙한 특이점을 나타내며, 이는 conformal block의 정규 특이점의 열화에서 기인한다.
• $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 이론에서 네 개의 풍미를 가진 경우의 분리 한계가 점 渐진적으로 자유 이론으로의 전이가 CFT 측면의 대응하는 한계로 성공적으로 매핑되었다.
• Gaiotto 상태는 두 개의 바이아소로 주요 상태의 열화로서 나타나며, 이는 분리 과정의 CFT 실현을 제공한다.
• 게이지 이론 계산의 K-이론 상승은 국소 히르체브루흐 표면과 그 블로우업 위의 개방형 위상수학적 끈 앰피티유드를 재현하며, 기하학적 공 ingeneering 제안을 확인한다.
• B-모델과 A-모델의 앰피티유드 계산이 일치하여, 표면 연산자가 존재하는 순간자 분할 함수와 개방형 위상수학적 끈 분할 함수 사이의 이중성에 강력한 증거를 제공한다.