[논문 리뷰] Global-in-time probabilistically strong and Markov solutions to stochastic 3D Navier--Stokes equations: existence and non-uniqueness

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 20.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 추가적 추적-클래스 노이즈를 가진 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 무한히 많은 시간에 걸쳐 존재하는 확률적으로 강한 해와 해석적으로 약한 해가 존재함을 증명하며, 법칙에 따른 비유일성과 마르코프 과정의 비유일성을 입증한다. 이 결과들은 볼록 적분법과 간헐적 제트의 확률적 변형을 통해 달성되었으며, 확률적 유체역학 분야에서 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We are concerned with the three dimensional incompressible Navier--Stokes equations driven by an additive stochastic forcing of trace class. First, for every divergence free initial condition in $L^{2}$ we establish existence of infinitely many global-in-time probabilistically strong and analytically weak solutions, solving one of the open problems in the field. This result in particular implies non-uniqueness in law. Second, we prove non-uniqueness of the associated Markov processes in a suitably chosen class of analytically weak solutions satisfying a relaxed form of an energy inequality. Translated to the deterministic setting, we obtain non-uniqueness of the associated semiflows.

연구 동기 및 목표

• 추가적 추적-클래스 노이즈를 가진 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 시간에 걸쳐 존재하는 확률적으로 강한 해의 존재를 해결하는 것.
• 임의의 $L^2$ 초깃값을 가진 확률적 나비에-스토크스 방정식에 대해 법칙에 따른 비유일성을 확립하는 것.
• 유연한 에너지 부등식을 만족하는 해석적으로 약한 해의 클래스에서 마르코프 과정의 비유일성을 증명하는 것.
• 볼록 적분법을 확률적 설정으로 확장하여 결정론적 기법을 확률적 편미분방정식에 적응시키는 것.
• 확률적 노이즈가 3D 나비에-스토크스 맥락에서 경로별 유일성 또는 마르코프 선택을 보장하지 못함을 보여주는 것.

제안 방법

• 스케일링된 컷오프 함수와 주기화를 통해 구성된 간헐적 제트를 사용하여 확률적 편미분방정식에 대한 볼록 적분법의 적응.
• 반복적 볼록 적분을 통해 속도 증분 $v_{q+1}$ 과 레이놀즈 스트레스 $\mathring{R}_{q+1}$ 를 구성하며, 에너지 제어와 발산이 없는 구조를 보장하는 것.
• 확률적 미오르피케이션과 매개변수화된 제트 가족 $W_{(\xi)}$ 및 교정항 $W_{(\xi)}^{(c)}$ 를 사용하여 오차 항을 제외한 확률적 나비에-스토크스 방정식을 만족하는 것.
• 마르코프 과정의 비유일성을 선택하기 위해 측정 가능한 선택 정리에 기반한 마르팅글 해의 확률적 확장 적용.
• 고주파 진동과 에너지 집중을 달성하기 위해 $r_\perp \ll r_\| \ll 1$, $\lambda \gg 1$, $\mu \gg 1$ 의 매개변수를 가진 간헐적 제트의 사용.
• 콤팩트 지지와 영균값을 가지는 정규화된 함수 $\phi$, $\Phi$, $\psi$ 를 사용하여 발산이 없는 속도장 구축 및 $L^p$-추정을 통한 노름 제어.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가적 추적-클래스 노이즈를 가진 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 시간에 걸쳐 존재하는 확률적으로 강한 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 임의의 $L^2$ 초깃값을 가진 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에서 법칙에 따른 비유일성이 발생하는가?
• RQ3 유연한 에너지 부등식을 만족하는 해석적으로 약한 해의 클래스에서 비유일한 마르코프 과정을 선택할 수 있는가?
• RQ4 확률적 노이즈가 해의 유일성 측면에서 3D 나비에-스토크스 방정식을 어느 정도 정규화하는가?
• RQ5 볼록 적분법을 확장하여 확률적 설정에서 비유일한 해를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 발산이 없는 $L^2$ 초깃조건에 대해, 추가적 추적-클래스 노이즈를 가진 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 무한히 많은 시간에 걸쳐 존재하는 확률적으로 강한 해와 해석적으로 약한 해가 존재한다.
• 법칙에 따른 비유일성이 입증되었으며, 이는 해의 법칙이 초깃값에 의해 유일하게 결정되지 않음을 의미한다.
• 적절히 선택된 해석적으로 약한 해의 클래스에서 마르코프 과정의 비유일성이 증명되었다.
• 결과적으로, 확률적 리프팅을 통해 결정론적 설정에서 관련 반유동의 비유일성이 암시된다.
• 구성은 간헐적 제트와 교정항을 사용하여 레이놀즈 스트레스를 제어하는 확률적 변형 볼록 적분법에 기반한다.
• 속도 증분과 스트레스 항에 대해 필요한 $L^p$-노름 추정을 달성하였으며, 이는 매개변수 $r_\perp$, $r_\|$, $\lambda$, $\mu$ 에 따라 달라진다.