[논문 리뷰] Graded Poisson algebras on bordism groups of garlands and their applications

Vladimir Chernov|arXiv (Cornell University)|2006. 08. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 오목한 다각형을 이루는 N-가라운드의 유리수 bordism 군에 대해, N이 홀수 차원 다각형으로 구성된 경우, 그 위에 계량된 파울슨 대수적 구조를 도입한다. N = {S¹} 및 표면 F₂의 경우, 이 구성은 골드먼-투라에프 대수와 앤드레슨-매트스-레시티킨 파울슨 대수를 복원하며, 서로 다른 호모토피류에 속하는 자유 루프 간의 최소 교차 수 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let M be an oriented manifold and let N be a set consisting of oriented closed manifolds of possibly different dimensions. Roughly speaking, the space GN,M of N-garlands in M is the space of mappings into M of singular manifolds obtained by gluing manifolds from N at some marked points. In our previous work with Rudyak we introduced a rich algebra structure on the bordism group Ω∗(GN,M). In this work we introduce the operations ⋆ and [·, ·] on the tensor product of Q and a certain bordism group bΩ∗(GN,M). For N consisting of odd-dimensional manifolds, these operations make bΩ∗(GN,M) ⊗ Q into a graded Poisson algebra (Gerstenhaber-like algebra). For N consisting of even-dimensional manifolds, ⋆ satisfies a graded Leibniz rule with respect to [·, ·], but [·, ·] does not satisfy a graded Jacobi identity. The mod 2-analogue of [·, ·] for one-element sets N was previously constructed in our preprint with Rudyak. For N = {S 1} and a surface F 2, the subalgebra b Ω0(G {S 1},F 2) ⊗ Q of our algebra is related to the Goldman-Turaev algebra of loops on a surface and to the Andersen-Mattes-Reshetikhin Poisson algebra of chord-diagrams. As an application, our Lie bracket allows one to compute the minimal number of intersection points of loops in two given homotopy classes b δ1, b δ2 of free loops on F 2, provided that b δ1, b δ2 do not contain powers of the same element of π1(F 2).

연구 동기 및 목표

• N-가라운드의 보르디즘 군에 대해 홀수 차원 N에 대해 계량된 파울슨 대수적 구조를 포함하도록 보다 일반화된 구조를 확장하는 것.
• bΩ∗(GN,M) ⊗ Q 위에서 ⋆ 및 [·, ·] 연산을 정의하여, 저차원 위상수학에서 알려진 구조를 일반화하는 것.
• 새로운 대수와 표면 위의 루프에 대한 골드먼-투라에프 대수 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 리 괄호를 사용하여 서로 다른 호모토피류에 속하는 자유 루프 간의 최소 교차점 수를 계산하는 것.
• 짝수 차원 N에 대해 계량된 자코비 항등식이 성립하지 않는 이유를 밝혀, 홀수 차원 케이스와의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• N-가라운드 GN,M의 공간을 정의하여, N에 속하는 다각형들을 표시점에서 접합하여 유도된 특이 다각형들을 정렬된 다각형 M에 사상하는 것으로 한다.
• bΩ∗(GN,M) ⊗ ℚ 위에서 ⋵ (곱) 및 [·, ·] (괄호) 연산을 구성한다.
• 홀수 차원 N에 대해, ⋵ 및 [·, ·] 연산이 bΩ∗(GN,M) ⊗ ℚ 에 계량된 파울슨 대수적 구조를 부여함을 증명한다.
• 짝수 차원 N에 대해, ⋵ 는 [·, ·] 에 대해 계량된 라이프니츠 법칙을 만족하지만, [·, ·] 는 계량된 자코비 항등식을 만족하지 못함을 보인다.
• bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ 과 골드먼-투라에프 대수 및 앤드레슨-매트스-레시티킨 코드 다이어그램 파울슨 대수 간의 연결 고리를 설정한다.
• 리 괄호를 사용하여 표면 F₂ 위의 서로 다른 호모토피류에 속하는 두 자유 루프 간의 최소 교차점 수를 계산한다. 이때 π₁(F₂)에서 같은 원소의 거듭제곱을 공유하지 않는다고 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 차원 N에 대해, 정렬된 다각형 M 내의 N-가라운드 보르디즘 군 위에 계량된 파울슨 대수적 구조를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 짝수 차원 N을 포함할 경우, ⋆ 및 [·, ·] 연산의 대수적 성질은 무엇이며, 특히 계량된 자코비 항등식에 대해 어떤가?
• RQ3 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ 의 부분대수는 골드먼-투라에프 대수 및 앤드레슨-매트스-레시티킨 파울슨 대수를 어느 정도 복원하는가?
• RQ4 리 괄호 [·, ·] 는 표면 F₂ 위의 두 자유 루프 간의 최소 교차점 수를 계산하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 기본군 π₁(F₂)는 교차점 수 계산의 적용 가능성을 제약하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 홀수 차원 N에 대해, ⋆ 및 [·, ·] 연산은 bΩ∗(GN,M) ⊗ ℚ 에 계량된 파울슨 대수적 구조를 제공한다.
• 짝수 차원 N에 대해, 곱 ⋆ 는 괄호 [·, ·] 에 대해 계량된 라이프니츠 법칙을 만족하지만, 괄호 [·, ·] 는 계량된 자코비 항등식을 만족하지 못한다.
• 부분대수 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ 는 표면 F₂ 위의 루프에 대한 골드먼-투라에프 대수와 동형이다.
• 부분대수 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ 는 앤드레슨-매트스-레시티킨 코드 다이어그램 파울슨 대수와도 대응한다.
• 리 괄호를 통해 F₂ 위의 서로 다른 호모토피류에 속하는 두 자유 루프 간의 최소 교차점 수를 계산할 수 있다.
• 호모토피류 δ₁ 및 δ₂ 가 π₁(F₂)의 동일한 원소의 거듭제곱을 포함하지 않는 한, 교차점 수 계산은 유효하다.