[논문 리뷰] Gradient Estimates and Ergodicity for SDEs Driven by Multiplicative Lévy Noises via Coupling

Mingjie Liang, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 새로운 커플링 방법을 사용하여 다중성 순수 점프 Lévy 노이즈에 의해 구동되는 SDE에 대한 기울기 추정과 에르고딕성 결과를 확립한다. 이는 이러한 SDE에 대해 첫 번째 명시적 마코프 커플링을 유도하며, 비용이 국소 헬더 연속일 경우 기울기 추정을 증명하고, 분산성 드리프트 조건 하에서 $L^1$-와서르슈타인 및 총 변동 거리에서의 에르고딕성을 확보한다.

ABSTRACT

We consider SDEs driven by multiplicative pure jump Lévy noises, where Lévy processes are not necessarily comparable to $α$-stable-like processes. By assuming that the SDE has a unique solution, we obtain gradient estimates of the associated semigroup when the drift term is locally Hölder continuous, and we establish the ergodicity of the process both in the $L^1$-Wasserstein distance and the total variation, when the coefficients are dissipative for large distances. The proof is based on a new explicit Markov coupling for SDEs driven by multiplicative pure jump Lévy noises, which is derived for the first time in this paper.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동에 의해 구동되는 SDE의 기울기 추정 및 에르고딕성 결과를 다중성 순수 점프 Lévy 과정에 의해 구동되는 SDE로 확장하기 위해.
• 브라운 운동의 가산적 구조가 없는 바람에 오랫동안 열려 있던 문제인 다중성 Lévy 노이즈에 의해 구동되는 SDE에 대한 마코프 커플링을 구성하는 것.
• 드리프트가 국소 헬더 연속일 경우 관련 준군에 대한 기울기 추정을 증명하기 위해.
• 분산성 드리프트 조건 하에서 $L^1$-와서르슈타인 및 총 변동 거리에서의 에르고딕성을 확립하기 위해.
• 비대칭성 및 비-$\alpha$-안정 Lévy 과정에 대해 유효한 프레임워크를 제공하여 이전 결과의 적용 범위를 넓히기 위해.

제안 방법

• 다중성 순수 점프 Lévy 노이즈에 의해 구동되는 SDE에 대해, 생성자 구조에서 직접 유도된 새로운 명시적 마코프 커플링을 제안한다.
• 커플링 기법을 사용하여 전이 핵심 $\delta_x P_t$ 와 $\delta_y P_t$ 사이의 와서르슈타인 거리 및 총 변동 거리를 유계화한다.
• 불변 확률 측도가 일阶 모멘트를 가지는 존재성을 확보하기 위해 포스터-라이아파노프 유형 조건을 적용한다.
• 생성자 $L$를 드리프트 및 점프 성분으로 분해하고, $\sigma(x)$의 힐버트-슈미트 노름을 사용하여 점프 적분을 정확히 추정한다.
• 비가우시안이고 비가산적인 Lévy 설정에 적합하게, 반사 및 평행 이동의 유사물에 기반한 커플링 연산자를 구현한다.
• 확산 계수 $\sigma(x)$의 균일한 비퇴화성 및 전역 리프시츠 연속성, 그리고 큰 거리에서 드리프트 $b(x)$의 분산성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트가 국소 헬더 연속일 경우, 다중성 Lévy 노이즈를 갖는 SDE에 대해 기울기 추정을 확립할 수 있는가?
• RQ2 가산적 분해가 없는 바람에 다중성 순수 점프 Lévy 과정에 의해 구동되는 SDE에 대해 마코프 커플링을 구성하는 것이 가능한가?
• RQ3 과정이 $L^1$-와서르슈타인 및 총 변동 거리에서 에르고딕성을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ4 에르고딕성 속도는 계수의 정규성과 Lévy 측도의 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 이전 문헌에서의 가정을 초월하여 비대칭성 및 비-$\alpha$-안정 Lévy 측도에 대해서도 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 다중성 순수 점프 Lévy 노이즈에 의해 구동되는 SDE에 대해 첫 번째 명시적 마코프 커플링을 구성하여 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 드리프트 $b(x)$가 국소 헬더 연속일 경우 준군에 대한 기울기 추정을 확립하였으며, 헬더 지수와 $\sigma(x)$의 리프시츠 상수에 명시적인 의존성을 포함한다.
• 분산성 드리프트 조건 하에서 $L^1$-와서르슈타인 거리에서의 에르고딕성이 증명되었으며, 지수 수렴 속도 $\|\delta_x P_t - \delta_y P_t\|_{W_1} \leq c e^{-\lambda t} |x-y|$ 를 갖는다. 여기서 $\lambda > 0$이다.
• 총 변동 거리에서의 에르고딕성 또한 지수 수렴을 보이며 $\|\delta_x P_t - \delta_y P_t\|_{\text{Var}} \leq c_2(x) e^{-\lambda t}$ 로 유계화된다.
• 포스터-라이아파노프 조건과 드리프트의 분산성 조건 하에서 불변 확률 측도가 존재하고 유일하며 일阶 모멘트를 갖는다.
• 비대칭성 및 특이성 있는 Lévy 측도를 포함한 일반적인 Lévy 측도에 대해서도 결과가 성립하며, 회전 대칭성 또는 절대 연속성 조건이 필요 없고 국소 적분 가능성 이외의 조건만 요구한다.