[논문 리뷰] Graphical Regular Logic

Brendan Fong, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 14.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자유 정규 범주로부터 유도된 스트링 다이어그램을 사용하는 정규 논리의 다이어그램적 문법으로서 그래픽스 정규 논리(graphical regular logic)를 도입한다. 정규 범주와 정규 계산법 사이의 범주론적 이중성(정규 범주에서의 관계 이중체 bicategory에서 순서 집합으로의 모나이드 2-함수)을 수립하며, 정규 범주의 범주가 정규 계산법의 범주에 대해 본질적으로 반사적임을 증명한다. 이는 완전 충실한 prd와 본질적으로 전사인 syn 함수를 갖는 수반 관계를 통해 이루어진다.

ABSTRACT

Regular logic can be regarded as the internal language of regular categories, but the logic itself is generally not given a categorical treatment. In this paper, we understand the syntax and proof rules of regular logic in terms of the free regular category $\mathsf{FRg}(\mathrm{T})$ on a set $\mathrm{T}$. From this point of view, regular theories are certain monoidal 2-functors from a suitable 2-category of contexts---the 2-category of relations in $\mathsf{FRg}(\mathrm{T})$---to the 2-category of posets. Such functors assign to each context the set of formulas in that context, ordered by entailment. We refer to such a 2-functor as a regular calculus because it naturally gives rise to a graphical string diagram calculus in the spirit of Joyal and Street. Our key aim to prove that the category of regular categories is essentially reflective in that of regular calculi. Along the way, we demonstrate how to use this graphical calculus.

연구 동기 및 목표

• 자유 정규 범주를 기반으로 하는 범주론적 구조를 사용하여 정규 논리의 문법과 증명 규칙을 체계화하기.
• 정규 계산법을 자유 정규 범주에서의 관계 이중체에서 순서 집합으로의 모나이드 2-함수로 정의하여 함의관계와 논리적 구조를 포착하기.
• 정규 계산법이 조요르와 스트리트의 스트링 다이어그램에 영감을 받은 정규 논리에 자연스러운 그래픽스 계산법을 제공함을 보여주기.
• 정규 범주와 정규 계산법 사이의 이중성 수립을 통해 정규 범주가 정규 계산법의 범주에 대해 본질적으로 반사적임을 보여주기.

제안 방법

• 집합 T의 종류에 대해 자유 정규 범주 FRg(T)를 구성하며, 이는 FRg의 사본들의 코프로덕트로 구성되며, 객체는 문맥을 나타내고, 사상은 코프로덕트 위의 동치 관계를 통해 관계를 나타낸다.
• 객체가 '쉘들'(유한 집합에 레이블된 포트와 지지 객체 s를 가진 것)인 관계의 이중체 RelFRg(T)를 정의하며, 사상은 코어레이션을 인코딩하는 와이어링 다이어그램이다.
• 문맥 내의 공식을 순서 집합의 원소로 표현하며, 함의관계는 순서로 표현하고, 정규 계산법을 P: FRg(T) → Poset로 정의하며, 이는 구조를 유지하는 것으로서 정의한다.
• 각 정규 계산법 P에 대해 P-그래픽스 용어의 범주 RP를 부여하는 함수 syn: RgCalc → RgCat를 도입하며, 사상은 함의관계로 정의된다.
• 각 정규 범주 R에 대해 그에 관련된 정규 계산법 (Ob R, SubR⌜−⌝)을 맵핑하는 함수 prd: RgCat → RgCalc를 정의하며, 이는 각 문맥에서의 부분객체 랏의 구조를 포착한다.
• prd와 syn이 수반 관계를 이루며, prd가 완전 충실하고, 쌍대단위 syn(prd(R)) → R가 동치임을 증명함으로써 본질적 반사성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 논리의 문법과 증명 규칙은 자유 정규 범주에서의 범주론적 구성으로부터 어떻게 체계적으로 유도될 수 있는가?
• RQ2 함수 P: FRg(T) → Poset에 대해 어떤 범주론적 구조가 정규 범주의 논리적 내용으로부터 정규 범주를 재구성하는 데에 충분한가?
• RQ3 정규 범주의 구조와 내부 논리로부터 자연스럽게 유도된 그래픽스 스트링 다이어그램 계산법이 존재하는가?
• RQ4 정규 범주의 범주와 정규 계산법의 범주 사이에 이중성이 존재하는가? 만약 존재한다면 그 성질은 무엇인가?
• RQ5 정규 범주의 내부 논리는 표준 동치를 통해 그에 관련된 정규 계산법으로부터 완전히 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 정규 범주의 범주가 정규 계산법의 범주에 대해 본질적으로 반사적임을 보이며, 이는 prd ⊣ syn 수반 관계에 의해 이중성이 수립된다.
• 함수 syn: RgCalc → RgCat는 각 정규 계산법 P로부터 함의관계 관계를 갖는 P-그래픽스 용어의 범주를 구성함으로써 정규 범주를 생성한다.
• 함수 prd: RgCat → RgCalc는 각 정규 범주 R에 대해 (Ob R, SubR⌜−⌝) 정규 계산법을 할당하며, 각 문맥에서의 부분객체 랏을 인코딩한다.
• 수반 관계의 쌍대단위 ǫ: syn(prd(R)) → R는 동치임을 보이며, 이는 모든 정규 범주가 그 논리적 내용으로부터 복원 가능함을 보여준다.
• 함수 prd는 완전 충실하므로, 정규 범주의 논리적 구조가 그 범주론적 구조를 동치를 제외하고 완전히 결정함을 의미한다.
• 정규 논리의 그래픽스 계산법은 함의관계와 등식이 함수 F♯에 의해 보존됨을 통해 타당성과 완전성의 증명을 얻었으며, 이는 레마 8.2에 의해 체계화되었다.