[논문 리뷰] Ground states and semiclassical states of nonlinear Choquard equations involving Hardy-Littlewood-Sobolev critical growth

Daniele Cassani, Jianjun Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 09.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 하디-리틀우드-소볼레프 임계 성장 조건을 갖는 비선형 초크라드 방정식에 대해 지면 상태와 양자역학적 상태의 존재를 확립한다. 절단 기법과 변분 방법을 사용하여 플랑크 상수가 0으로 수렴함에 따라 슈뢰딩거 포텐셜의 최소값에 집중하는 단일 피크 해의 존재를 증명하며, 단조성 조건이나 암브로세티-라비노비츠 조건을 요구하지 않는다.

ABSTRACT

We are concerned with the existence of ground states for nonlinear Choquard equations involving a critical nonlinearity in the sense of Hardy-Littlewood-Sobolev. Our result complements previous results by Moroz and Van Schaftingen where the subcritical case was considered. Then, we focus on the existence of semi-classical states and by using a truncation argument approach, we establish the existence and concentration of single peak solutions concentrating around minima of the Schrödinger potential, as the Planck constant goes to zero. The result is robust in the sense that the nonlinearity is not required to satisfy monotonicity conditions nor the Ambrosetti-Rabinowitz condition.

연구 동기 및 목표

• 비선형 초크라드 방정식에 대해 하디-리틀우드-소볼레프 임계 비선형성 조건을 갖는 지면 해의 존재를 확립한다.
• 플랑크 상수가 0으로 수렴하는 극한에서 양자역학적 상태의 존재성과 집중 현상을 조사한다.
• 비선형성에서 단조성 조건이나 암브로세티-라비노비츠 조건이 필요 없도록 한다.
• 이전 결과를 하디-리틀우드-소볼레프 부등식의 관점에서 초임계 성장 영역으로 확장한다.

제안 방법

• 비선형성의 임계성을 다루기 위해 유계 절단 함수 $ f_k(t) = \min\{f(t), k\} $ 를 정의함으로써 절단 기법을 적용한다.
• 콤���터성과 마운틴 패스 구조를 활용하여 절단된 문제의 해 존재성을 변분 방법으로 증명한다.
• 국소 타원형 추정과 수렴 추론을 적용하여 절단된 문제의 해가 작은 $ \varepsilon $ 에서 원래 방정식을 만족함을 보인다.
• 집중-콤팩트성 추론과 스케일링을 통해 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 해의 점근적 행동을 분석한다.
• $ I_\alpha \ast F_k(w_\varepsilon) $ 가 $ L^\infty $ 에서 일관되게 유계임을 이용하여 국소 정규성 추정을 적용한다.
• 포텐셜 $ V $ 의 최소값에 중심을 둔 근사 해의 가족 $ U_\varepsilon^x $ 을 구성하고, 극한에서 지면 상태로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하디-리틀우드-소볼레프 임계 성장 조건을 갖는 비선형 초크라드 방정식에 대해 지면 해가 존재하는가?
• RQ2 플랑크 상수가 $ \varepsilon \to 0 $ 으로 수렴함에 따라 슈뢰딩거 포텐셜의 최소값에 집중하는 양자역학적 해를 구성할 수 있는가?
• RQ3 비선형성에서 단조성 조건이나 암브로세티-라비노비츠 조건이 없을 경우 해의 존재성은 유지되는가?
• RQ4 비선형성 조건 $ f(t)/t^{(\alpha+2)/(N-2)} \to 1 $ 이 존재성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 절단 기법은 원래 비선형성의 해를 절단된 문제의 해로부터 어떻게 복원할 수 있는가?

주요 결과

• $ \alpha \in ((N-4)_+, N) $ 이고 $ q > \max\left\{1 + \frac{\alpha}{N-2}, \frac{N+\alpha}{2(N-2)}\right\} $ 일 때, 조건 (F1)–(F3) 하에 방정식은 지면 해를 갖는다.
• 지면 해의 존재는 (F1)과 (F2) 조건만으로 보장되지 않으며, (F3) 조건이 필수적임이 반례를 통해 입증된다.
• 양자역학적 해는 존재하며, $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 포텐셜 $ V $ 의 최소값에 집중한다. 피크 위치는 $ \mathcal{M} $, 즉 포텐셜 최소값 집합으로 수렴한다.
• 절단된 문제의 해 $ v_\varepsilon $ 는 작은 $ \varepsilon $ 에 대해 $ \|v_\varepsilon\|_\infty < \kappa $ 를 만족하므로 원래 방정식을 만족한다.
• 스케일링된 해 $ w_\varepsilon(y) = v_\varepsilon(\varepsilon y + x_\varepsilon) $ 는 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 에서 지면 상태 $ U(\cdot + z_0) $ 로 수렴한다.
• 이 방법은 강건하다: 비선형성이 암브로세티-라비노비츠 조건이나 단조성 가정을 만족하지 않아도 된다.