[논문 리뷰] Hermitian Harmonic maps and non-degenerate curvatures

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 15.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비퇴화 곡률을 가진 켈러 또는 리만 대상 다성분체로의 허미션 하모닉 및 퓨리-하모닉 맵에 대한 강성 및 해석적 성질을 정립한다. 비케일러 하모닉 다양체에서 정교화된 보흐너 공식을 사용하여, 곡률과 랭크 조건 하에서 이러한 맵이 해석적, 반해석적 또는 상수일 것을 증명하며, 시우, 조스트-요우, 산프슨의 고전적 결과를 비케일러 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of various harmonic maps from Hermitian manifolds to Kaehler, Hermitian and Riemannian manifolds respectively. By using refined Bochner formulas on Hermitian (possibly non-Kaehler) manifolds, we derive new rigidity results on Hermitian harmonic maps from compact Hermitian manifolds to Riemannian manifolds, and we also obtain the complex analyticity of pluri-harmonic maps from compact complex manifolds to compact Kaehler manifolds (and Riemannian manifolds) with non-degenerate curvatures, which are analogous to several fundamental results in [28,Siu], [14,Jost-Yau] and [26, Sampson].

연구 동기 및 목표

• 고전적 하모닉 맵의 강성 정리를 허미션(비케일러) 다양체로 확장하기.
• 허미션 하모닉 또는 퓨리-하모닉 맵이 해석적, 반해석적 또는 상수일 조건을 설정하기.
• 곡률과 랭크 제약 조건을 사용하여 시우 및 조스트-요우의 하모닉 맵 결과를 비케일러 영역으로 일반화하기.
• 비퇴화 곡률과 $\delta$-조건 ($\partial\overline{\partial}\omega^{m-2}_h = 0$) 이 맵의 강성에 미치는 역할을 조사하기.
• 허미션 다양체에서 다양한 하모닉 맵 유형(고전적, $\partial$-, $\overline{\partial}$-, 허미션) 간의 차이를 명확히 하기.

제안 방법

• 비자명한 토르션을 가진 허미션 다양체에 대해 정교화된 보흐너 공식을 유도하며, 이ellers-삼슨 및 조스트-요우의 기법을 응용한다.
• 허미션 하모닉 맵 방정식을 사용: $-h^{\alpha\overline{\beta}}\left(\frac{\partial^2 f^i}{\partial z^\alpha \partial \overline{z}^\beta} + \Gamma_{jk}^i \frac{\partial f^j}{\partial \overline{z}^\beta} \frac{\partial f^k}{\partial z^\alpha}\right) = 0$.
• 일반화된 발산 자유 구조 적용: $\left(\overline{\partial}_E - 2\sqrt{-1}\partial^*\omega_h\right)^*\left(\overline{\partial}f\right) = 0$.
• 비퇴화 곡률의 개념 도입 (정의 4.1), 시우의 강력한 양성 곡률을 일반화한다.
• 스토크스 정리와 $(1,1)$-형식 적분을 적용하여 위상적 또는 곡률 제약 조건 하에서 $\omega_0 = 0$ 를 보인다.
• 곡률 수축 항등식 사용: $R_{ijk\ell} \left( h^{\alpha\overline{\beta}} \frac{\partial f^i}{\partial z^\alpha} \frac{\partial f^\ell}{\partial \overline{z}^\beta} \right) \left( h^{\gamma\overline{\delta}} \frac{\partial f^j}{\partial z^\gamma} \frac{\partial f^k}{\partial \overline{z}^\delta} \right) = 0$ 를 통해 랭크 제약을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤���트 허미션 다양체에서 리만 대상 다성분체로의 허미션 하모닉 맵이 언제 해석적 또는 상수일까?
• RQ2 시우의 해석적 강성 결과를 비케일러 허미션 영역으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 $\partial\overline{\partial}\omega^{m-2}_h = 0$ 조건(아스테노-케일러)이 맵의 강성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 대상 다성분체에서 비퇴화 곡률이 퓨리-하모닉 맵의 미분의 랭크를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 콤팩트 복소 다양체에서 켈러 또는 리만 대상 다성분체로의 퓨리-하모닉 맵이 언제 반드시 상수일까?

주요 결과

• 만약 $f: (M,h) \to (N,g)$ 가 $\partial\overline{\partial}\omega_h^{m-2} = 0$ 를 만족하고 $(N,g)$ 가 강력한 허미션-음성 곡률을 가진다면, $\text{rank}_{\mathbb{R}} df \leq 2$ 이며, $\dim_{\mathbb{C}} M > 1$ 이면 상수 음성 곡률 다성분체로의 임베딩은 존재하지 않는다.
• 콤팩트 복소 다양체에서 켈러 다성분체로의 퓨리-하모닉 맵 $f: M \to (N,g)$ 는 $\text{rank}_{\mathbb{R}} df \geq 4$ 이면 해석적 또는 반해석적이다.
• 만약 $\text{rank}_{\mathbb{R}} df < 2m$ 이면, 비퇴화 곡률을 가진 켈러 또는 리만 다성분체로의 모든 퓨리-하모닉 맵은 상수이다.
• 칼라비-에이컨만 다양체 $\mathbb{S}^{2p+1} \times \mathbb{S}^{2q+1}$ 에서는, $p+q \geq n$ 이면 $N(c)$ 로의 모든 퓨리-하모닉 맵은 상수이다.
• $\mathbb{CP}^m$ 에서 $\mathbb{CP}^n$ 으로의 퓨리-하모닉 맵은 $m > n$ 이면 상수이며, $\mathbb{CP}^n$ 에서 실공간 형태 $N(c)$ 로의 맵은 $n \geq 2$ 이면 상수이다.
• 대상 다성분체에서 한 점에서 비퇴화 허미션 곡률을 가진다면, 임의의 퓨리-하모닉 맵 $f: M \to (N,g)$ 에 대해 $\text{rank}_{\mathbb{R}} df(p) \leq 2$ 이다.