[논문 리뷰] Higher S-dualities and Shephard-Todd groups

Sergio Cecotti, Michele Del Zotto|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 메이케이 대응을 통해 물질 전하 격자와 반사군을 연결함으로써 4차원 $\epsilon=2$ 초등방형 미세장 이론(SCFT)에서 S dualities에 대한 호모로지적 프레임워크를 수립한다. S dualities 군이 $ \mathfrak{S}_3$, $G_4$, $G_8$ 및 그들의 곱인 셰퍼드-타우드 군을 통해 작용하며, 이는 $ \mathbb{Q}$, $ \mathbb{Q}(\omega)$, $ \mathbb{Q}(i)$ 위에서 유니터리 반사로 실현되며, 복소 곱승 필드들 사이에서 동일한 구조를 유지한다.

ABSTRACT

Seiberg and Witten have shown that in N=2 SQCD with $N_f=2N_c=4$ the S-duality group PSL(2,Z) acts on the flavor charges, which are weights of Spin(8), by triality. There are other N=2 SCFTs in which SU(2) SYM is coupled to strongly-interacting non-Lagrangian matter: their matter charges are weights of $E_6$, $E_7$ and $E_8$ instead of Spin(8). The S-duality group PSL(2,Z) acts on these weights: what replaces Spin(8) triality for the $E_6,E_7,E_8$ root lattices? In this paper we answer the question. The action on the matter charges of (a finite central extension of) PSL(2,Z) factorizes trough the action of the exceptional Shephard--Todd groups $G_4$ and $G_8$ which should be seen as complex analogs of the usual triality group $\mathfrak{S}_3\simeq \mathrm{Weyl}(A_2)$. Our analysis is based on the identification of S-duality for SU(2) gauge SCFTs with the group of automorphisms of the cluster category of weighted projective lines of tubular type.

연구 동기 및 목표

• E_6^{(1,1)}, E_7^{(1,1)}, E_8^{(1,1)} 전역 대칭을 가진 $ \mathcal{N}=2$ 초등방형 미세장 이론에서 S dualities에 대한 호모로지적 접근법을 개발한다.
• 물질 전하 격자 $\Gamma_{\text{matter}}$ 가 반사군의 작용 하에서 루트 격자 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ 의 몫으로서 표현됨을 규명한다.
• 다양한 복소 곱승 필드 ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}(\omega)$, $\mathbb{Q}(i)$) 사이에서 동일한 $A_2$-형 딜린 그래프 구조를 사용하여 S dualities 작용을 통합한다.
• S dualities 군을 $PSL(2,\mathbb{Z})$ 의 중심 확장의 몫으로 실현함으로써 모듈라 군 표현과 물리적 이중성 대칭을 연결한다.
• 전체 전하 격자에서 S dualities 의 명시적 행렬 표현을 제공하며, 디라크 쌍화 및 카르탕 형식을 유지한다.

제안 방법

• 메이케이 대응을 사용하여 $SU(2)$ 의 유한 부분군을 아핀 딜린 다이어그램 $E_6^{(1)}$, $E_7^{(1)}$, $E_8^{(1)}$ 와 연결함으로써 물질 표현 구조와 연관시킨다.
• 물질 전하 격자 $\Gamma_{\text{matter}}$ 를 루트 격자 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ 의 라디칼을 통해 몫으로 구성하며, $\Gamma_{\text{matter}} \cong \Gamma_{\mathfrak{g}}$ 를 $E^{-1}$ 가 유도하는 등급을 통해 유지한다.
• 유니포텐트 상삼각행렬 $E$ 를 유도 범주 내 생성 층 간의 오일러 형식을 인코딩하는 데 사용하며, $\boldsymbol{\Phi} = -E(E^t)^{-1}$ 는 코크세터 원소를 나타낸다.
• 전체 전하 격자 $\Gamma$ 에 작용하는 정수 $(r(\mathfrak{g})+2) \times (r(\mathfrak{g})+2)$ 행렬을 통해 S dualities 작용을 실현하며, 카르탕 행렬과 디라크 쌍화를 유지한다.
• 반사군 $G_{\text{matter}}$ 가 셰퍼드-타우드 군: $\mathfrak{S}_3$, $G_4$, $G_8$, 및 그들의 곱으로서 식별되며, $\Gamma_{\mathfrak{g}} \otimes \mathbb{C}$ 에서 기약 표현 $W$, $R$, $F$, $\chi$ 를 통해 작용한다.
• 표준 모듈로 2 전단사 사상 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ltimes SL(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \to PSL(2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 를 사용하여 $W$-표현을 $p=4$ 경우로 올린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 E_6^{(1,1)}, E_7^{(1,1)}, E_8^{(1,1)} 전역 대칭을 가진 $ \mathcal{N}=2$ SCFT에서 S dualities 는 물질 전하에 어떻게 작용하는가?
• RQ2 G_4, G_8, 및 $ \mathfrak{S}_3$ 와 같은 셰퍼드-타우드 군은 어떤 복소 곱승 필드에서 S dualities 군을 어떻게 실현하는가?
• RQ3 물질 전하 격자 $\Gamma_{\text{matter}}$ 는 루트 격자 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ 와 티츠 형식 $q$ 와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 유도 범주와 오일러 형식을 통한 호모로지적 프레임워크는 S dualities 변환을 어떻게 인코딩하는가?
• RQ5 물질군의 기약 표현은 $p=3,4,6$ 에서 복소화된 루트 공간 $\Gamma_{\mathfrak{g}} \otimes \mathbb{C}$ 를 어떻게 분해하는가?

주요 결과

• p=3 에서, 복소화된 루트 공간 $\Gamma_{E_6} \otimes \mathbb{C}$ 는 $\boldsymbol{1} \oplus \boldsymbol{1} \oplus R \oplus \overline{R}$ 로 분해되며, 여기서 $R$ 은 $G_4$ 의 2차원 기약 표현이다.
• p=4 에서, $\Gamma_{E_7} \otimes \mathbb{C} \simeq \boldsymbol{1} \oplus W \oplus F \oplus \overline{F}$ 이며, $F$ 는 $G_8$ 의 정의 2차원 표현이다.
• p=6 에서, $\Gamma_{E_8} \otimes \mathbb{C} \simeq \chi \oplus \overline{\chi} \oplus (W,\boldsymbol{1}) \oplus (\boldsymbol{1},R) \oplus (\boldsymbol{1},\overline{R})$ 이며, $\chi$ 는 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 의 1차원 원시 특성이다.
• S dualities 작용은 카르탕 행렬, 디라크 전자기 쌍화, 전하 격자 $\Gamma$ 의 정수적 구조를 유지한다.
• 물질 전하 격자 $\Gamma_{\text{matter}}$ 는 유니포텐트 행렬 $E$ 의 역행렬을 통해 루트 격자 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ 와 등급을 유지하며, $\boldsymbol{x} = E^{-1}\boldsymbol{y}$ 에서 $\overline{q}(\boldsymbol{x}) = q_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{y})$ 를 만족한다.
• 반사군 $G_{\text{matter}}$ 는 $PSL(2,\mathbb{Z})$ 의 중심 확장의 몫으로 실현되며, $G_8 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ltimes SL(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$ 이며, $W$-표현은 모듈로 2 전단사 사상에 의해 $PSL(2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 로 올라간다.