[논문 리뷰] Higher SPT's and a generalization of anomaly in-flow

Ryan Thorngren, Curt von Keyserlingk|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 09.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 6인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 2+1차원 Dijkgraaf-Witten 이론에서 심각한 't Hooft 이상을 해결하기 위해, 전역 대칭 $G$ 가 1형식 대칭과 0형식 대칭을 포함하는 2군 대칭으로 확장될 경우, 이상이 흡수되어 해소됨을 보여준다. 핵심 결과는 이러한 이상이 $d$-군 대칭에 의해 보호되는 고차 SPT 위상으로 조절될 때 항상 이상 흡수 조건을 만족함을 보여주며, 이로 인해 나타나는 1형식 게이지 장은 $H^3$ 이상 클래스에서 기인하며, 이는 $G$를 게이지화할 경우 anyonic 결함의 증식을 나타낸다.

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases of bosons in $d$ spatial dimensions have been characterized by the action of the protecting global symmetry $G$ on their boundary. The symmetry acts on the boundary in a way that would be impossible to realize in a purely $d-1$ dimensional system i.e., without the bulk. This is often formalized by saying the $G$ symmetry is anomalous when the boundary theory is gauged. Simultaneously gauging the symmetry on the boundary and in the bulk yields a gauge-invariant composite system. One says there is an anomaly in-flow from the boundary to the bulk. Recently it has been appreciated that some anomalies are too severe to be regulated by an SPT bulk. These do not satisfy anomaly in-flow in the traditional sense. However, we show that these anomalous systems can be regulated as the symmetric boundaries of the newly discovered higher SPT phases. These higher SPT's are protected by a symmetry $d$-group, a higher categorical version of a group which can charge not just particles but also strings, volumes, etc. This structure emerges naturally from computation of the anomaly. One can interpret these severe anomalies as producing an emergent higher-form gauge field when $G$ is gauged, and this gauge field participates in the bulk topological action.

연구 동기 및 목표

• 유한 전역 대칭 $G$ 에 대한 모든 't Hooft 이상이 전통적인 의미에서 이상 흡수 조건을 만족하는지 여부를 다루는 것.
• 기존 3+1차원 $G$-게이지 이론으로는 해소되지 않는 심각한 이상을 고차 SPT 위상으로 조절할 수 있음을 보여주는 것.
• 장 이론에서의 $H^3$ 장애와 모듈러 텐서 카테고리의 $G$-크로스드 브레이드 확장에서의 $H^3$ 장애 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 전역 대칭 $G$ 를 게이지화할 경우 나타나는 1형식 게이지 대칭이 이상의 원인임을 보여주며, 이에 해당하는 $H^3$ 코chains 가 관련 anyonic 결함의 전하를 결정함을 밝혀내는 것.
• $G$-대칭 Dijkgraaf-Witten 이론이 초국소 $d$-군 대칭을 가진 고차 SPT 위상의 경계로 항상 실현될 수 있음을 증명하는 것.

제안 방법

• 이상의 심각도를 필터링하고 필요한 대칭 확장 수준을 결정하기 위해 세르 스펙트럴 시퀀스를 사용한다.
• 3차원 이론을 모델링하기 위해 $G_{\text{gauge}} = \bbZ/3$ 과 카르탕-유사 작용 $S_{3d} = \frac{1}{3} \int \tilde{a} \cup \frac{\delta \tilde{a}}{3}$ 를 사용한 Dijkgraaf-Witten 이론의 형식을 적용한다.
• 게이지 장 $a$ 의 정수 상승 $\tilde{a}$ 를 도입하여 보크스타인 호모로지즘 $Bock(a) = \frac{\delta \tilde{a}}{3}$ 를 정의한다. 이는 모듈로 3로 잘 정의되며, 닫혀 있지만 반드시 정확하지는 않다.
• 보크스타인의 첫 번째 후손인 $Bock_1(a;f)$ 를 계산하여 게이지 변환을 분석하고 $G_{\text{gauge}}$ 에 대한 작용의 불변성을 검증한다.
• 전역 대칭 $G_{\text{global}}$ 를 게이지화할 경우의 이상 변화는 1형식 및 2형식 장을 포함하는 2-게이지 장이 있는 4+1차 위상적 작용의 경계 변화에 의해 상쇄됨을 보여준다.
• 장 이론에서의 $H^3$ 이상 클래스가 게이지화 시에 아벨 anyon 의 응집과 관련이 있으며, 이에 해당하는 anyon 전하는 배경 1형식 게이지 장에 의해 결정됨을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 전역 대칭 $G$ 에 대한 't Hooft 이상은 기존의 3+1차원 $G$-게이지 이론에서 이상 흡수 조건을 만족할 수 있는가?
• RQ2 기존 이상 흡수 조건을 차단하는 심각한 이상을 해소하기 위해 필요한 전역 대칭 $G$ 의 최소 확장은 무엇인가?
• RQ3 이상에서 기인하는 $H^3$ 코homology 클래스는 어떻게 기원하는 1형식 대칭과 anyon 응집과 관련이 있는가?
• RQ4 $G$-대칭 Dijkgraaf-Witten 이론은 항상 초국소 $d$-군 대칭을 가진 고차 SPT 위상의 경계로 실현될 수 있는가?
• RQ5 보크스타인 호모로지즘과 그 후손들이 이상과 게이지 불변성을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Dijkgraaf-Witten 이론에서의 모든 't Hooft 이상은 $G$ 를 2군 대칭으로 확장한 후 이상 흡수 조건을 만족한다. 이때 $\Pi_2$ 는 TQFT 내의 아벨 anyon 군과 동형이다.
• 이상의 $H^3$ 클래스는 $G$ 를 게이지화할 경우 1형식 게이지 대칭의 기원을 나타내며, 코chains 는 $G$ 도메인 월이 증식되어 형성된 연장자 버블의 전하를 결정한다.
• 전역 대칭 $G_{\text{global}}$ 을 게이지화할 경우의 이상 변화는 1형식 및 2형식 장을 포함하는 2-게이지 장이 있는 4+1차 위상적 작용의 경계 변화에 의해 상쇄된다.
• 장 이론에서의 $H^3$ 장애는 $G$-크로스드 브레이드 확장의 모듈러 텐서 카테고리에서의 $H^3$ 장애와 정확히 일치하며, 깊이 있는 수학적-물리적 연결 고리를 확립한다.
• $G$-대칭 Dijkgraaf-Witten 이론은 초국소 $d$-군 대칭을 가진 고차 SPT 위상의 경계로 항상 실현될 수 있으며, 이는 기존의 SPT 경계 조건을 일반화한다.
• 기원하는 1형식 게이지 장은 부스터 위상의 위상적 작용에 참여하며, 아벨 anyon 의 응집(또는 anyon 응집)은 2-SPT 부스터가 존재할 경우에만 일관되며, 2+1차원에서만은 일관되지 않다.