[논문 리뷰] Hodge cohomology on blow-ups along subvarieties

Sheng Rao, Song Yang외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 특성수를 가진 대수적으로 닫힌 체 위의 국소적으로 자유층의 호지 코hom로지에 대한 폭발 공식을 수립하며, 폭발에 따른 코hom로지적 행동을 분석하기 위해 상대 호지층을 도입한다. 주요 결과는 폭발에서의 호지 코호몰로지에 대한 명시적 동형사상이며, 이는 양의 특성수에서 호치-코스타ント-로젠버그 스펙트럴 시퀀스의 E2-분해성의 폭발 불변성을 암시한다.

ABSTRACT

We establish a blow-up formula for Hodge cohomology of locally free sheaves on smooth proper varieties over an algebraically closed field of positive characteristic. For this, we introduce a notion of relative Hodge sheaves and study their behavior under blow-ups along smooth centers. In particular, as an application, we study the blow-up invariance of the $E_2$-degeneracy of the Hochschild--Kostant--Rosenberg spectral sequence for smooth proper varieties.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성수에서 휘어진 호지-데 라무 스펙트럴 시퀀스의 E1-분해성이 폭발에 대해 불변인지 조사한다.
• 양의 특성수에서 돌비오르 코호몰로지의 부재를 해결하기 위해 상대 호지층을 도입한다.
• 임의의 특성수를 가진 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄럽고 완비인 다양체 위의 국소적으로 자유층에 대한 호지 코호몰로지에 대한 폭발 공식을 수립한다.
• 이 공식을 적용하여 폭발에 대한 호치-코스타ント-로젠버그 스펙트럴 시퀀스의 E2-분해성을 연구한다.
• 약한 HKR 정리가 폭발과 비라시오널 변환 하에서 유지되는 조건을 규명한다.

제안 방법

• 매끄럽고 닫힌 부분다양체 $j: Y \hookrightarrow X$ 에 대해 $p$-번째 상대 호지층 $K^p_Y$ 를 $\ker(\Omega^p_X \to j_*\Omega^p_Y)$ 로 정의한다.
• 특히 예외적 분리자에 중점을 두어 매끄러운 중심에 대해 폭발에 따른 상대 호지층의 행동을 분석한다.
• 호지 코호몰로지에 대한 폭발 공식을 증명한다: $H^q(\tilde{X}, \Omega^p_{\tilde{X}} \otimes \pi^*V) \cong H^q(X, \Omega^p_X \otimes V) \oplus \bigoplus_{i=1}^{c-1} H^{q-i}(Z, \Omega^{p-i}_Z \otimes \iota^*V)$.
• 코호몰로지의 상대 호지층을 연결하기 위해 등식 $\pi^*: H^q(X, K^p_Z \otimes V) \xrightarrow{\sim} H^q(\tilde{X}, K^p_E \otimes \pi^*V)$ 를 사용한다.
• 오르로프의 폭발 공식과 쿠즈네츠흐의 호치-코호몰로지의 가환성 공식을 적용하여 $\tilde{X}$ 의 호치-코호몰로지가 $X$ 와 $Z$ 의 것과 관련됨을 밝힌다.
• 폭발 공식과 호치-코호몰로지 계산을 조합하여 HKR 스펙트럴 시퀀스의 E2-분해성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 특성수에서 휘어진 호지-데 라무 스펙트럴 시퀀스의 E1-분해성은 폭발에 대해 불변인가?
• RQ2 돌비오르 코호몰로지에 의존하지 않고도 양의 특성수에서 호지 코호몰로지에 대한 폭발 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ3 양의 특성수에서 매끄럽고 완비인 다양체의 폭발에 대해 HKR 스펙트럴 시퀀스의 E2-분해성이 유지되는가?
• RQ4 약한 HKR 정리는 어떤 조건에서 비라시오널 불변인가?
• RQ5 폭발의 호치-코호몰로지와 원래 다양체 및 중심 다양체의 것 사이의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 논문은 호지 코호몰로지에 대한 폭발 공식을 수립한다: 임의의 $X$ 위의 국소적으로 자유층 $V$ 에 대해 $H^q(\tilde{X}, \Omega^p_{\tilde{X}} \otimes \pi^*V) \cong H^q(X, \Omega^p_X \otimes V) \oplus \bigoplus_{i=1}^{c-1} H^{q-i}(Z, \Omega^{p-i}_Z \otimes \iota^*V)$.
• 끌임은 $\pi^*: H^q(X, K^p_Z \otimes V) \xrightarrow{\sim} H^q(\tilde{X}, K^p_E \otimes \pi^*V)$ 를 유도하며, 여기서 $K^p_Z$ 는 상대 호지층이다.
• 양의 특성수에서 매끄럽고 완비인 다양체에 대해 HKR 스펙트럴 시퀀스의 E2-분해성의 폭발 불변성은 성립한다.
• 조건 $\dim Z \leq \operatorname{char}(k) < \dim X$ 하에서, 약한 HKR 정리는 $\tilde{X}$ 에 대해 성립할 조건과 동시에 $X$ 와 $Z$ 에 대해 성립한다.
• 폭발의 호치-코호몰로지 차원은 $\dim HH^l(\tilde{X}) = \dim HH^l(X) + (c-1)\dim HH^l(Z)$ 를 만족하며, 여기서 $c$ 는 중심의 codimension이다.
• 약한 HKR 정리는 $\mathbb{P}(E)$ 에 대해 성립할 조건과 동시에 $X$ 에 대해 성립하며, 비분해성 HKR 스펙트럴 시퀀스를 가진 예의 범위를 확장한다.